En del av de komplexa problemsituationer som skall behandlas i Ma5 kan med fördel utökas till gymnasiearbeten i matematik. Eleven får på så sätt en del synergieffekter mellan olika delar av skolarbetet. Här följer några möjligheter att arbeta med gymnasiearbeten i matematik där GeoGebra kan komma att spela en central roll. Ett flertal av dessa förslag finns på något sätt beskrivna i boken Handbok i matematisk modellering med GeoGebra.

Fiskodlingar

I boken Handbok i matematisk modellering med GeoGebra finns två olika matematiskt konstruerade modeller av fiskodlingar som skiljer sig mycket åt. Tag kontakt med verkliga fiskodlingar och ställ relevanta frågor för att kunna konstruera en ny modell samt undersök den. Försök även att problematisera den ytterligare så att det blir en lämplig uppgift för elever som läser matematik i någon av matematikkurserna.

Undersökning av Is-Albedomodellen

Om jorden skulle kylas av så att istäcket breder ut sig så blir Jorden ”ljusare” och reflekterar mer ljus. Vi säger att albedot ökar. Men om mer strålning reflekteras så blir det kallare och isen breder ut sig ännu mera. Detta skulle (naivt) kunna resultera i en klimatkollaps liknande den som visas i filmen Snowpiercer (2013). Arbetet skulle innebära att bygga upp denna modell i GeoGebra och undersöka egenskaper som stabilitet och egenskaper hos lösningen för olika värden på diverse parametrar. Genom kontakter med t.ex. SMHI bör man kunna få data som man kan mata modellen med.

Bästa position

Det finns ett flertal problem som handlar om var man ska vara för att maximera en synvinkel, t.ex. i ett rum när man ska se på TV, gå på bio, i en full föreläsningssal då man vill se skärmen, då man vill se ett fotbollsmål under störst vinkel etc. Flera sådana problem är redan lösta, men hur blir det för specifika, oregelbundna salar som Aula Magna på Stockholms Universitet till exempel? Och hur varierar lösningarna då vi justerar våra parametrar. Ett fullt gymnasiearbete studerar flera av dessa problem och jämför dem med varandra.

Vardagsdesign

För att producera en plastbunke kan vi rotera en kurva kring en central axel i mitten. Därefter gjuts eller 3D-printas en plastbunke utifrån den matematiska formen. En möjlig funktion att starta med kan vara f(x) = ae^bx men fler är absolut möjliga. En serie bunkar som kan passa i varandra ska designas. Deras volym skall vara exakt 1 liter, 2 liter och 3 liter och deras förhållande mellan höjd och bredd skall vara ”lagom”. Gör jämförelser med riktiga bunkar. Använd laseravståndsmätare för att mäta ut en existerande bunke och beräkna dess volym, analysera dess funktionsgraf och jämför beräknad volym med verklig volymen. Du måste också göra en rimlig design av utsidan av bunkarna. Om möjligt konstruerar du sedan bunkarna med 3D-printer. Man kan variera upplägget och fundera över vaser, prydnadsskålar etc.

Övergångsmatriser och Markov-kedjor

Genom att observera någon aspekt av vädret, t.ex. molnigheten och beräkna sannolikheter för att vädret ändras eller ligger kvar, kan man ställa upp övergångsmatriser som sedan låter oss beräkna den långtida sannolikheten för olika molnigheter. Man kan också göra tidsstudier på sig själv eller andra och studera vad man gör med slumpmässiga tidsintervaller flera gånger om dagen. Då kan vi på liknande sätt ställa upp matriser som visar sannolikheten att växla från t.ex. plugga till surfa etc. Med dessa matriser kan man sedan hitta långsiktiga trender.

Spirografer, harmonografer och liknande

En spirograf är ett enkelt ritverktyg där ett kugghjul får gå i en större cirkel med kuggar på insidan. En penna sitter i ett hål i hjulet och ritar upp blomliknande former när man rör hjulet runt, runt. Harmonografer kan bygga på pendlar eller andra objekt (2 LP-spelare) vars kombinerade rörelse ger vackra mönster. Arbetet innebär att bygga någon form av harmonograf samt även göra dynamiska modeller av den, och i modellen, såväl som i den byggda harmonografen undersöka vilka mönster som kan bildas, samt hur dessa påverkas av olika parametrar.

McLaurinserier

Skapa ett undervisningsmaterial för en grundkurs i McLaurinserier (Taylorserier kring x = 0) där alla konstruktioner, figurer etc är gjorda i GeoGebra. Materialet skall innehålla skriftliga elevinstruktioner med lämpliga övningar, elevövningar på dator med GeoGebra, färdiga demonstrationsmodeller i GeoGebra för läraren samt lärarhandledning med undervisningstips, Lösningar till uppgifter, extrauppgifter etc. Detta kräver att man börjar sätta sig in i delar av Ma3 och Ma4 tidigt, samt god struktur och ordning. Andra specifika ämnesområden kan tänkas.

Konstruktion av skalor

Normalt är x- och y-axlarna linjära skalor och funktioner krumbuktar sig. Men hur skulle det vara om vi låter en funktion vara en rät linje och sedan funderar på hur skalorna skulle se ut. Man kan t.ex. Låta det vara lika stort avstånd mellan 0 och 1 som mellan 1 och oändligheten på skalorna och låta funktionen y = 1/x vara en rät linje. Hur ska vi då markera axlarna? Hur blir det för andra funktioner, t.ex. y = e^x?

Eulerlinjer för fyrhörningar

Varje triangel har en Eulerlinje som ligger på höjdernas, mittpunktsnormalernas och medianernas skärningspunkter. Skapa denna i GeoGebra. Skapa sedan ett nytt verktyg som skapar Eulerlinjen för tre givna punkter. En 4-hörning kan ses som 4 trianglar genom att ta bort ett hörn i taget. Tag en godtycklig 4-hörning i GeoGebra. Skapa 4 Eulerlinjer – en för varje ”deltriangel” i 4-hörningen. Drag i 4-hörningens hörn och undersök hur linjerna beter sig. För vissa speciella 4-hörningar är linjerna antingen parallella eller skär varandra i en punkt samtidigt. När då? Undersök först speciella 4-hörningar men försök sedan göra en systematisk undersökning på något sätt, kanske genom att göra en färgkarta eller 3D-plot. Detta har använts för att göra den matematisk konst som finns presenterad på denna webbplats. Projektet kan komma att innehålla programmering för att skapa högupplösta bilder, men kan göras direkt i GeoGebra med mindre upplösning. Genom att variera problemet kan nya bilder skapas.

3D-versioner av 2D-geometriska satser

Det finns ett otal olika geometriska satser, t.ex. Miquels teorem för 4-hörningar: Tag fyra linjer. Tag bort en linje i taget och skapa en cirkel som går genom de tre övriga hörnen. På detta sätt fås fyra cirklar. De skär alla varandra i en punkt.

Denna sats kan visas stämma i även i tre dimensioner. Arbetet går ut på att producera bra GeoGebrakonstruktioner för både 2D- och 3D-fallen för denna och andra geometriska satser som handlar om objekt som skär varandra i en punkt.

Former i former

En polygon med n sidor får sina sidor uppdelade i m lika långa bitar med punkter mellan sig. Genom att systematiskt sammanbinda punkt j på en sida med punkt k på en sida d steg bort fås till slut en ny figur i centrum. Exempelvis kan en triangels sidor tredelas och varje hörn sammanbindas med båda punkterna på sidan mitt emot. I centrum fås då en sexhörning. Frågan är nu: hur stor del av den ursprungliga triangelns area utgör sexhörningen i mitten? Och hur varierar detta när olika parametrar ändras, t.ex. om vi delar in triangelns sidor i flera delar än tre, hur ändras då förhållandet mellan areorna. Kan vi hitta en serie för detta? Vad blir det för serie? Här finns många olika delproblem att fördjupa sig i.

Populationsdynamik

Kräver att du sätter dig in i hur differentialekvationer fungerar redan nu (normalt Ma5 men går att lära sig tidigare). Du måste också lära dig hur GeoGebra hanterar och löser system av differentialekvationer. Sedan kan du med dessa verktyg undersöka hur olika parametrar påverkar olika aspekter av populationsdynamik. Du kan ställa upp samband som gäller för interaktion mellan flera olika arter som lever av varandra, eller studera olika modeller för begränsning av en population. Genom att jämföra med faktiska värden kan du undersöka vilka modeller som lämpar sig bäst i olika sammanhang.

Epidemier

Kräver att du sätter dig in i hur differentialekvationer fungerar redan nu (normalt Ma5 men går att lära sig tidigare). Du måste också lära dig hur GeoGebra hanterar och löser system av differentialekvationer. Sedan kan du med dessa verktyg undersöka hur olika parametrar påverkar olika aspekter av epidemin. Det finns flera olika sätt att modellera epidemier och arbetet syftar delvis till att lära sig ställa upp en ny, egen differentialekvation från egna uppsatta förutsättningar.

Föroreningar

Kräver att du sätter dig in i hur differentialekvationer fungerar redan nu (normalt Ma5 men går att lära sig tidigare). Du måste också lära dig hur GeoGebra hanterar och löser system av differentialekvationer. Sedan kan du med dessa verktyg undersöka hur olika parametrar påverkar olika aspekter av föroreningsproblem. Det finns flera olika situationer som kan modelleras som föroreningar: utsläpp i vattendrag, rökiga miljöer som ska ventileras, alkoholkonsumtion som ska väntas ut etc. Arbetet syftar delvis till att lära sig ställa upp egna differentialekvationer från egna uppsatta förutsättningar och scenarios.

Krig

Kräver att du sätter dig in i hur differentialekvationer fungerar redan nu (normalt Ma5 men går att lära sig tidigare). Du måste också lära dig hur GeoGebra hanterar och löser system av differentialekvationer. Krigssituationer går att modelleras. Man kan då skapa olika modeller för att svara på frågor om t.ex. hur effektivt det är med skydd kontra eldkraft. Många olika frågställningar är här möjliga.