Kategoriarkiv: Jonas Hall

Skolverkets modul om GeoGebra

Under hösten har Svenska GeoGebrainstitutet och Karlstads GeoGebrainstitut under ledning av NCM haft i uppdrag från Skolverket att ta fram en modul om GeoGebra. Den finns nu upplagd på lärportalen och finns i två versioner, dels för åk 7-9, dels för gymnasiet.

Bortsett från texterna har vi jobbat med att ta fram en del material:

Vi hoppas att det här ska underlätta för alla som vill lära sig mer om GeoGebra inför de kommande digitala nationella proven som kommer att använda ett digitalt verktyg som påminner om GeoGebra.

Python i GeoGebra

Chefsutvecklaren på GeoGebra, ”The mad wizard” Mike Borcherds jobbar vidare på implementeringen av ett pythongränssnitt i GeoGebra.

Utseendet och funktionaliteten kommer fortfarande att förändras mycket. I den här versionen kan du till exempel inte spara din egen kod. Testversionen finns på https://bennorth.github.io/python-geogebra/


GeoGebra-kommandon börjar med stor bokstav, resten av koden är Python. Det svarta fönstret till vänster är kodredigeraren. Om det finns GeoGebra-kommandon i koden som producerar GeoGebra-objekt, kommer de att visas i GeoGebra-ritningsområdet på höger sida. Nedanför kodredigeraren finns ett fönster där du kan skriva ut utdata med Pythons print() funktion. Där visas även möjliga felmeddelanden. Knappen Open in GeoGebra öppnar ritytan i onlineversionen av GeoGebra. På så sätt kan du enkelt redigera utdata i GeoGebra.

Pythonversionen kommer så vitt vi vet att släppas innan sommaren, men förseningar har skett förr. Det kommer dessutom bara vara möjligt att köra Python online, och inte i nedladdade versioner på din dator. Trots det är det en spännande utveckling som kan förenkla för de som vill programmera just i matematikundervisningen. Vi får också nu tillgång till for-loopar och villkorssatser i Python, något som tidigare bara varit möjligt för den som vill skriva javascript.

Vad skulle du vilja göra med Python i GeoGebra?

GeoGebra för lärare: Kryssrutor

I GeoGebra är en kryssruta den grafiska representationen av en så kallad Boolesk variabel, en variabel som bara kan ta värdena true eller false. Den grundläggande idén är att låta en kryssruta bestämma om ett eller flera objekt på skärmen ska vara synliga för tillfället eller ej, som en slags på/av-knapp, men det är bara en av alla möjligheter.

Vi tänker oss att du vill visa symmetrilinjen och vertex hos andragradsfunktioner. Du matar in ax2 + bx + c och trycker på Enter för att rita upp en andragradsfunktion vars koefficienter du kan reglera. Kommandot Extrempunkt(f) ger dig vertexpunkten och du döper om den till V. Sedan skapar du symmetrilinjen med kommandot x = x(V) och gör den streckad och fin.

Du är inte säker på om du vill ha algebrafönstret öppet när du demonstrerar detta så du vill ha en kryssruta som kopplar på och av symmetrilinjen. Du väljer verktyget för kryssruta…

…och klickar där du vill ha den.  Nu får du upp en meny där du kan välja den vertikala linjen. Förklaring är texten du vill ha bredvid kryssrutan, t.ex. ”Visa symmetrilinjen”.

Allt fungerar som det är tänkt – men så kommer du på att du kanske skulle vilja kryssrutan styra även vertexpunkten. Hur gör du det?

Nyckeln till att förstå det här är att inse att ”visas” är en egenskap hos linjen, inte hos kryssrutan. Så du går in i egenskaperna för linjen och väljer fliken Avancerat. Högst upp, under rubriken Villkor för att visa objekt hittar du d som är kryssrutans namn. Linjen visas alltså endast när d har värdet true – när kryssrutan är markerad.

För att låta punkten V påverkas av kryssrutan d så går du alltså in på V:s egenskaper, väljer fliken avancerat, och skriver in d under Villkor för att visa objekt. Nu styr kryssrutan både symmetrilinjen och vertexpunkten samtidigt.

Men så börjar du fundera. Egentligen vill du ju först visa vertexpunkten, och sen visa symmetrilinjen. Det kanske är bättre med två kryssrutor. Fast det var ju rätt snyggt att bara ha en kryssruta. Går det att göra så att den andra kryssrutan bara visas först när du markerat den första? Jodå. Gör så här:

Skapa en ny kryssruta som du kopplar till punkten V. Den nya kryssrutan får namnet e. Gå sedan in i egenskaperna för den booleska variabeln d (alltså den första kryssrutan) och skriv in e under Villkor för att visa objekt. Nu kommer kryssruta d bara att visas om du först markerat kryssruta e.

Du kan också ”nollställa” kryssruta d så att den alltid är omarkerad varje gång den visas. För att göra det krävs ett litet script. Gå in i egenskaperna för kryssruta e och välj Script (Program).     Under Vid uppdatering (onUpdate) skriver du in SättVärde(d, false).

Du kan flytta på kryssrutorna genom att dra i dem med höger musknapp.

Nu kan du ändra andragradsfunktion som du vill och fråga eleverna vad vertexpunkten har för koordinater och därefter vad symmetrilinjen har för ekvation om och om igen.

Här är ett annat exempel där synligheten hos en kryssruta avgörs av värdet på en glidare.   

Det finns ännu fler exempel med tydliga beskrivningar i GeoGebra Builders Handbook.

Nya instruktionsfilmer

Jag har under senaste tiden fått tillfälle att göra en del nya instruktionsfilmer. De här är i första hand riktade mot lärare och försöker (i alla fall med tiden) vara någorlunda heltäckande.

De är samlade i fem stycken spellistor som just nu innehåller mellan en och fem filmer var, men tanken är att det ska fyllas på med filmer under 2023.

De fem spellistorna ligger alla på Svenska GeoGebrainstitutets Youtubekanal:

Jag hoppas givetvis även att jag får tid att lägga upp fler filmer riktade mot elever. De här spellistorna finns just nu:

Filmerna för elever fungerar förstås även för lärare, även om fokus är mer på användandet av GeoGebra som en avancerad räknare.

Hör gärna av dig om du ser att något saknas. Jag har i och för sig en plan men jag kan ha missat något om jag vet att det är något speciellt du vill ha så kan jag prioritera det.

GeoGebra för lärare: Snygga felstaplar

En av de vanligaste återkommande frågorna jag får som lärare på ett naturvetenskapligt program är – förvånande eller inte:

Hur gör man felstaplar i GeoGebra?

Eleverna är vana att lägga in mätdata och göra regressioner i Geogebra, men just felstaplarna kan vara lite knepigt att få till så att det blir snyggt.

Metoderna skiljer sig kraftigt beroende på om du använder GeoGebra Classic som har ett kalkylblad eller GeoGebra Calculator Suite där du får jobba med listor istället.

GeoGebra Classic

Börja med att lägga in dina mätdata i kalkylbladet som du kan öppna med kortkommandot Ctrl-Shift-S (för spreadsheet). Lägg x-värden i kolumn A och y-värden i kolumn B. Använd en rubrikrad så att första värdet ligger på rad 2.

Du kommer också att behöva information om hur stora dina felstaplar är. Hur du tar reda på det beror på vad det är för undersökning eller experiment du har gjort men det kanske innefattar att beräkna standardavvikelsen för medelvärdet, punkt för punkt. Eller så är det bara en uppskattning av mätnoggrannheten för din metod eller instrument och det är samma värde för alla datapunkter. Oavsett vilket så behöver du dessa värden. Fyll i dem i kolumn c.

Formler i GeoGebras kalkylblad kan innehålla geometriska objekt

Det finns flera olika sätt att skapa själva datapunkterna. Den här gången gör jag det genom att i cell D2 skriva =(A2, B2). Likhetstecknet som inleder formler i kalkylprogram är frivilligt i GeoGebra.  Du kan nu kopiera ned formeln genom att markera cell D2 och dra i den lilla fyrkanten i nedre högra hörnet. Då skapas de andra punkterna.

Att kopiera ned en formel: lägg märke till den lilla kvadraten i nedre högra hörnet av den markerade cellen

På samma sätt skapar du nu ytterligare två kolumner av punkter som ska representera felstapelns över- och nederkant. I E2 skriver du =(A2, B2 + C2) och i F2 skriver du =(A2, B2 – C2). Kopiera ned formlerna för båda dessa.

Det sista konstruktionselementet är själva felstapeln. I G2 skriver du =Sträcka(E2, F2) och kopierar ned formeln.

Vår färdiga tabell

Det du nu har i ritområdet ser antagligen extremt fult ut, men frukta icke! Det enda som nu återstår att göra är att snygga upp resultatet.

Öppna egenskapsdialogen med Ctrl-Shift-E. Markera värdena i kolumn D (alltså alla punkter, men inte rubriken på rad 1). På fliken Utseende ställer du in storlek 3 och använder kryss som symbol för datapunkterna. Om det inte gick, kontrollera att du verkligen bara markerat datapunkterna och inte rubriken eller tomma celler.

Egenskaper för utseendet hos punkter

Färgen på datapunkterna är lämpligen svart men du kan markera enstaka punkter och framhäva dem med någon annan färg om det finns skäl till det.

Markera sedan punkterna i kolumn E och F och på fliken Grundinställningar så avmarkerar du kryssrutan Visa objekt. Dessa punkter ska helt enkelt inte visas alls.

Objekt i kalkylbladet brukar automatiskt markeras som hjälpobjekt, och syns därför inte i algebrafönstret

Markera till slut felstaplarna i kolumn G. På fliken Utseende ställer du in linjetjockleken 2 och ser till att både starten och slutet på felstaplarna blir markerade med tvärstaplar.

Egenskaper för utseendet för sträckor

Om det är lämpligt kompletterar du med en passande regressionsfunktion, t.ex. RegressionPotens(D2:D10). Du kan dra funktionen från algebrafönstret till ritområdet för att skapa en textetikett.

Forma ritområdet till lämplig storlek, dra axlarna till lämplig position och zooma in lagom mycket. Kopiera ritområdet med Ctrl-Shift-C och klistra in ditt färdiga diagram i din rapport.

Det färdiga diagrammet

Calculator Suite

Att göra motsvarande konstruktion i Calculator Suite som saknar kalkylblad är betydligt krångligare. Vi använder oss av listor.

Mata in x– och y-koordinaterna och felvärdena:

X = {1, 2, 3, 4, 5}
Y = {3, 5, 7, 9, 12}
F = {0.2, 0.3, 0.4, 0.4, 0.4}

Skapa punkterna:

P = (X, Y}
Q = (X, Y+F) 

R = (X, Y-F)

Dölj Q och R. Det här gick någorlunda smidigt, men för att skapa staplarna krävs tyvärr en mer komplicerad process. Sträckorna skapas så här:

S = Talföljd(Sträcka(Q(n), R(n)), n, 1, Längd(P))

Kommandot Talföljd(…) fungerar här som en for-loop som skapar en sträcka i taget för alla n-värden från 1 till antalet punkter.

Det går inte heller att bara dekorera dessa sträckor så vi måste bygga tvärstaplarna själva. Vi sätter bredden på tvärstaplarna till 2d och låter d initialt ha värdet 0.1.

d = 0.1

Så gör vi en lista med dessa värden.

D = Talföljd(d, n,1,Längd(P)) 

Nu skapar vi hjälppunkter som sedan kan döljas.

P1 = (X – D, Y + F)
P2 = (X + D, Y + F)
P3 = (X – D, Y – F)
P4 = (X + D, Y – F)

Den övre och den undre tvärstapeln skapas nu med

topbar = Talföljd(Sträcka(P1(n), P2(n)), n, 1, Längd(P))
bbar     = Talföljd(Sträcka(P3(n), P3(n)), n, 1, Längd(P))

Dölj alla punkter utom datapunkterna. Formatera datapunkterna, felstaplarna och tvärstaplarna som tidigare.

  • Linjetjocklek = 2
  • Punktstorlek = 3
  • Punktform = kryss.

Sätt värdet på d så att tvärstaplarna blir lagom breda.

(Personligt tips: Gör det i GeoGebra Classic.)

GeoGebra för lärare: Anpassningar

När du öppnar GeoGebra Classic 6 för första gången så ser det ut så här: (Full skärm 1920×1080. Programlistens färg bestäms av dina Windowsinställningar).

Teckensnittet är väldigt litet, hela skärmen är extremt vit och två decimaler är inställt som standard. Som lärare bör du göra vissa förändringar för att eleverna ska kunna se bra. Och en del förändringar ska eleverna kunna göra själva.

Starta Geogebra så gör vi lite anpassningar.

Fönstrets storlek

Vill du att att GeoGebra ska starta i full skärm eller i ett lite mindre fönster? Dra i hörnen tills du får den storlek du vill ha men om du ofta presenterar kanske full skärm är att föredra.

Teckenstorlek

Kortkommandot Ctrl+2 ökar successivt teckenstorleken i både ritområdet och inmatningsfältet och ändrar också storleken på punkter och linjer. Ctrl+1 återställer tillfälligt allt detta till standardstorlek igen. Du kan också ställa in teckenstorleken i de globala egenskaperna i egenskapsdialogen. Den metoden ändrar inte på storleken hos linjer och punkter.

Jag brukar välja 24 pt eller större vid presentationer.

Antal decimaler

Som standard visar Classic-versionerna 2 decimaler och Calculator Suite ”alla” deciamaler. Jag kan tycka att det beror på vad man just för tillfället vill göra. För pengar passar två decimaler perfekt. För vinklar kanske en decimal, för rötter och logaritmer vill jag ha tre. Men framförallt vill jag inte överraskas av små värden som presenteras som 0 så jag brukar ha 5 decimaler som standard.

Bakgrundsfärg

Vitt är ganska tråkigt så jag har ofta en bakgrundsfärg i ritområdet. Det går att ställa in i egenskaperna för ritområdet som du kan få fram genom att högerklicka i det. Bakgrundsfärgen hittar du långt ner.

Jag brukar välja en ljust gul färg (RGB: 255, 255, 216, #FFFFD8) för att bli av med det ”vita blänket”.

Tre tryck på Ctrl-2, en ljusgul bakgrund och 5 decimaler så ser det ut så här istället. Mycket tydligare för eleverna.

Spara inställningarna

Se till att göra BARA de inställningar du vill göra och gå sedan till de globala inställningarna och tryck på Spara inställningar. Då startar Geogebra i det läget nästa gång.

Visa eleverna

Det här bör du även visa eleverna så att de själva kan göra de inställningar som fungerar för dem i deras dagliga användning av GeoGebra och så att de förstår skillnaden mellan ”deras” GeoGebra och ”din” GeoGebra. En sak de kanske vill göra är att byta språk.

Dela inställningar

Du kan om du vill, efter att du sparat dina inställningar, skapa en tom GeoGebrakonstruktion och dela den med eleverna. När de öppnar den följer inställningarna med och allt de behöver göra för att få samma inställningar är att spara dem. Du kan också spara filer för egen användning i olika situationer, t.ex. en för fysikberäkningar där du ställt in fem gällande siffror.

GeoGebra för lärare: Tangentbordet (del 2)

I det första inlägget om tangentbordet beskrev jag räkneoperationer, specialtecken och det virtuella tangentbordet. Nu ska vi kika lite mer på några hur du zoomar och panorerar ritområdet och justerar glidare med hjälp av piltangenterna i kombination med Ctrl-, Shift- och Alt-tangenterna. Men först lite kort om index.

Indexering

Det är ofta nödvändigt att indexera variabler. Det kan till exempel röra sig om flera olika areor som då kan benämnas A1, A2, A3 eller om jämförelser mellan volymen på ett klot och en cylinder som då kan kallas Vk och Vc. Dessa nedsänkta tecken kallas för index. I GeoGebra skapar du index på samma sätt som i många andra matematikprogram: du använder understrecket (_). A1 matas då in som A_1, Vk matas in som V_k. Det här är snyggare (men tar något mer tid att skriva) än A1 eller Vk.

Zooma och panorera

Du kan hålla Shift nedtryckt medan du drar i axlarna för att zooma men ännu smidigare är att kombinera Shift med piltangenterna. Varje tangenttryckning zoomar ca 10 %.

Om du istället kombinerar piltangenterna med Ctrlflyttar du origo åt pilens håll (det vill säga panorerar åt andra hållet).

Shift + Upp zoomar in i y-led (Ctrl + Upp flyttar origo uppåt)
Shift + Ner zoomar ut i y-led (Ctrl + Ned flyttar origo nedåt)
Shift + Höger zoomar in i x-led (Ctrl + Höger flyttar origo åt höger)
Shift + Vänster zoomar ut i x-led (Ctrl + Vänster flyttar origo åt vänster)

Alt + piltangenter panorerar på samma sätt som Ctrl, men en hel skärm i taget.

Justera värdet på glidare

Med piltangenterna kan du enkelt öka eller minska värdet på en glidare eller flytta en punkt. Storleken på förändringen avgörs av värdet på steglängden som anges i inställningarna för talet eller punkten.

Om du håller nere någon av Ctrl- Shift eller Alt-tangenterna samtidigt som du använder piltangenterna så fungerar de som ”förstärkare”.

Shift + Pil multiplicerar tillfälligt steglängden med 0.1 så att du kan ta mindre steg. Ctrl + Pil multiplicerar med 10 så att du kan ta längre steg och Alt + Pil multiplicerar med 100.

Så om steglängden på ett tal är 0.5 och du trycker på…

Upp så ökar talets värde med 0.5
Shift + Upp så ökar talets värde med 0.05
Ctrl + Upp så ökar talets värde med 5
Alt + Upp så ökar talets värde med 50

Relaterat

Tillgänglighet: GeoGebra kan användas med enbart tangentbordet och har support för alt-texter och skärmläsare. Se mer här.
Namnge objekt: Se manualen.
Sammanställning över tangentbordsgenvägar finns här.

GeoGebra för lärare: Tangentbordet (del 1)

Det finns ett stort antal tangentbordsgenvägar i GeoGebra och ditt arbete förenklas betydligt om du kan de viktigaste. Det här är del 1 av två och den andra delen finns här.

Det mesta som presenteras här finns också sammanfattat i ett Worddokument som kan sättas upp i klassrummet. Den ursprungliga sammanställningen gjordes av min kollega Mattias Ramström.

Räkneoperationer

RäkneoperationSkrivExempelResultat
Addition+2000 + 3= 2003
Subtraktion3 – 2000= –1997
Multiplikation* eller mellanslag3*65  
eller   3 65 
= 195
Division/5/2= 2.5
Decimaltecken.3.14 / 2= 1.57
Exponent  (*)a^b2^10= 1024
TiopotenserE2.5E-6= 0.0000025
Trig. funktionersin(x), cos(x), tan(x)sin(30°), cos(π), tan(0)= 0.5   = –1    = 0
Inv. trig. funkt. (**)asin(x), acos(x), atan(x)asin(0.5)= 30°
10-logaritmen av xlg(x) eller log10(x)lg(100)= 2
Naturliga logaritmenln(x) eller log(x)ln(10)= 2.30259
a-logaritmen av xlog(a,x)log(3, 81)= 4
Grundläggande räkneoperationer i GeoGebra


* För att skriva ^-tecknet, tryck Shift   + -knappen på tangentbordet, och sedan nästa tecken (mellanslag, siffra eller något annat) för att få fram tecknet.
Ett alternativt sätt att skriva en siffra (dock ej bokstav) som exponent är att hålla ned Alt-knappen och sedan skriva siffran. a Alt+3 → a3

** Du kan ställa in i GeoGebra om du vill få svaret i grader eller radianer.

Specialtecken

Grekiska bokstäver och övriga tecken fås genom att hålla in Alt och sedan trycka motsvarande bokstav på tangentbordet. Inte alla grekiska bokstäver kan direkt fås med en tangentbordsgensväg.
(I Classic 5 kan de andra hämtas genom att trycka på ”α”-knappen längst till höger i inmatningsfältet).

Grekiska versaler fås genom att hålla in Skift + Alt och sedan bokstaven.

BokstavVersalerGemenerTryck [alt]+NamnSymbolTryck [alt]+
AlfaΑαaPiπp
BetaΒβbEulers konstantee
GammaΓγgImaginära iii
DeltaΔδdGradtecken°o
ThetaΘθtRotteckenr
FiΦφfOändlighetu
LambdaΛλl   
MyΜμmKvadrat²2
OmegaΩωwKub³3
SigmaΣσsetc  
Grekiska bokstäver och specialtecken

Virtuella tangentbord i olika versioner

GeoGebra Classic 5 har ett äldre virtuellt tangentbord som du kommer åt genom Visa-menyn.

GeoGebra Classic 6 och Calculator Suite har ett virtuellt tangentbord som du aktiverar med ikonen längst ned till vänster i fönstret.

Det har allt du rimligen behöver för att skriva matematik:

Övrigt

Du kan också få fram tecknet π genom att skriva ”pi”.
x(A) plockar ut x-koordinaten av punkten A. Samma med y(A) för y-koordinaten.
xAxeln och yAxeln är namnen på axlarna.   
Shift-Ctrl-C kopierar ritområdet till Urklipp.
Klicka i ”ringarna” för att visa/dölja objekt.

Nästa och avslutande del om tangentbordet finns här.

GeoGebra för lärare: Sannolikhetskalkylatorn

GeoGebras sannolikhetskalkylator är perfekt för att beräkna sannolikheter för till exempel normalfördelat material samt binomialfördelat (singla slant, tippa, dra kulor med återläggning) och hypergeometriskt fördelat material (dra kulor/kort utan återläggning).

Men det är också ett utmärkt verktyg för att skapa begreppsförståelse och tydligare se vad som händer i olika situationer, till exempel hur binomialfördelningen mer och mer liknar normalfördelningen när antalet upprepningar växer, och ta upp begreppet sannolikhetsfördelning mer generellt.

Normalfördelning

Vi tänker oss att vi fiskat upp fiskar med medellängden 35 cm och standardavvikelsen 4 cm. Sannolikheten att få en fisk längre än 40 cm kan då beräknas till drygt 10 %. Observera att vi med digitala verktyg inte är beroende av att jobba med intervall som är hela multiplar av standardavvikelsen.

Lägg märke till hur kurvan inte ändrar form, utan skalan gör det

Vilken typ av intervall vi tittar på avgörs med klammersymbolerna.

Öppet åt vänster, stängt, dubbla ytterinterval samt öppet till höger

Uppe till höger finns alternativ för att exportera grafen och dess funktion till ritområdet samt lägga på en normalfördelningskurva (vilket är mer relevant när vi jobbar med något annat än just normalfördelningen).

När vi har ensidigt öppna intervall som i det här exemplet så går det att ställa frågan åt andra hållet. Om du vill hitta den längd på fiskarna som bara 5 % av fiskarna är längre än, så matar du in 0.05 i den högra rutan. och hittar längden 41,6 cm.

I vårt nästa exempel tänker vi oss att vi är i en fabrik som ska producera motstånd med värdet 2200 Ω ± 5 %.

Mätning på motstånd

Efter mätning på motstånden finner man att medelvärdet är 2217 Ω med standardavvikelsen 85 Ω. Hur stor andel behöver säljas som motstånd med sämre toleransmärkning, t.ex. ±10 % eller ± 20 %? Totalt ca 47 % uppfyller inte kraven på 5 % tolerans.

Binomialfördelning

När vi upprepar något som har en fast sannolikhet så kommer resultaten att bli binomialfördelade. Exempel på detta är att singla slant, att chansa vilt på frågorna i en tipspromenad, att dra kulor eller kort med återläggning och att få grönt ljus vid ett trafikljus där intervallen är fixerade.

Här fyller vi i ett stryktips med 13 rader ”1 x 2” på måfå och beräknar sannolikheten att få 8 rätt eller mer till ca 3,5 %. Vi har lagt på normalfördelningskurvan och ser att binomialfördelningen i hög grad liknar normalfördelningen i det här fallet. Tabellen ger värdena för de individuella utfallen.

Att chansa på stryktips lönar sig sällan

Nu gör vi tvärtom. Vi singlar slant 15 gånger. Det borde vara 50 % sannolikhet att få 8 ”kronor” eller mer. Hur mycket behöver vi begränsa det intervallet för att sannolikheten skall sjunka till 20 %? Mata in 0.3 i högra rutan så får vi svaret 9 ”kronor” eller fler. Mata in 9 på nytt i vänstra rutan för att dubbelkolla. Sannolikheten är 30,4 %, men för 10 ”kronor” är sannolikheten bara 15,1 %. GeoGebra avrundar till det nedre värdet på antalet kronor.

Krona och klave

Hypergeometrisk fördelning

Bakom det här kryptiska namnet döljer sig den fördelningsfunktion som beskriver sannolikheterna för att dra några objekt med en viss egenskap ur en större mängd objekt. Med andra ord: Dra kort ur kortlekar och kulor ur påsar utan återlägg.

Vi börjar med att dra upp 2 kulor (urval) ur en påse med 5 kulor (population) där 2 av dem är röda (n). Sannolikheten för att minst en av dem är röd är 70 %. Vi ser i tabellen att sannolikheten att båda är röda är 10 %. Samma resultat kan enkelt verifieras med ett träddiagram.

Dra kulor ur påse utan återlägg.

I vårt sista exempel spelar vi poker. Vi drar upp 5 kort av 52 och funderar på sannolikheten att få en färg (flush). Sannolikhetskalkylatorn ger sannolikheten att få exakt 5 kort av en viss färg till 0,05 %. Men vi är nöjda vilken färg det än blir så sannolikheten blir alltså ca 0,2 %. Sannolikheten att få minst 4 kort av samma färg är förstås högre, ca 4,5 % ( 4 gånger 0.0112).

Dra 5 kort ur en kortlek. Vad är sannolikheten att alla är hjärter?