GeoGebra för lärare: Klassindelat material

Majsormen Enya. Hennes syster Moya är just nu inte i bild.

Jag har två ofarliga majsormar i mitt terrarium som livnär sig på möss (professionellt uppfödda, dödade och frysta och sedan upptinade vid matningstillfället).

Ormarna är ca ett år gamla och växer fortfarande. Sist jag köpte möss köpte jag ett 100-pack i viktspannet 8-18 g. Eftersom jag vill ge ormarna de minsta först och sedan öka storleken allt eftersom de växer så vägde jag alla mössen individuellt och packade om dem i olika påsar. Så här många möss hamnade i varje påse:

Vikt (gram)Antal
8-1017
10-1227
12-1434
14-1619
16-183

Det här är ett exempel på klassindelat material. Det är å ena sidan ett destruktivt sätt att hantera mina data eftersom jag slänger bort information om vad varje individuell mus vägde, men å andra sidan så tjänar jag på att slippa dokumentera alla hundra mössens vikter.

Att göra statistik på klassindelat material är ett typexempel på saker som är bra att göra med dator. Det är omständigt, to say the least, att göra det för hand och kräver god organisation. Självklart ska man ha provat någon gång men framför allt behöver man kunna processen för hur man får datorn att göra jobbet åt en.

Det som nu följer baserar sig på GeoGebra Classic 6 men kunde lika gärna varit i Classic 5. Calculator Suite däremot har tabeller i stället för kalkylblad så där går det lite annorlunda till.

Vi låter alla värden representeras av klassmitten i respektive klass. Klassmitten i klassen 8-10 g är 9 g. Det här antagandet kan behöva göras tydligt för eleverna. Vi vet ju egentligen inte mössens individuella vikter, så det här är det bästa vi kan åstadkomma utan djupare analys. Till varje värde (klassmitt) hör antalet möss i den klassen = frekvensen. Alla dessa värden skriver vi in i kalkylbladet.

Vi markerar alla värden i båda kolumnerna och väljer verktyget Envariabelanalys. Klickar vi på summatecknet hittar vi all relevant statistik, som medelvärdet och standardavvikelsen. Det går också att använda kommandona medel(klassmitter, frekvenser) och stdev(klassmitter, frekvenser). Klassmitter och frekvenser skall antingen vara referenser till områden i kalkylbladet som A2:A6, eller GeoGebralistor med klamrar runt sig som {9,11, 13, 15, 17}.

För att rita ut motsvarande histogram krävs en lista med klassgränser. I det här fallet är klassgränserna 8, 10, 12, 14, 16 och 18. Lägg märke till att det finns en mer av gränserna än vad det finns av frekvenser, klasser och klassmitter.

Med gränserna på plats kan du använda kommandot Histogram(klassgränser, frekvenser) vilket ritar ut histogrammet i ritområdet. Det kan vara så att du behöver justera fönsterinställningarna om du har värden på klassgränserna som är högre än ca 10.

Du kan också välja att visa histogrammet direkt i verktyget Envariabelanalys, men då måste du göra manuella inställningar av klassgränserna där. Du hittar de inställningarna om du klickar på kugghjulet.

Allt detta är också visat i en film för Classic 6 och en annan film för Calculator Suite. Båda filmerna finns i spellistan ”GeoGebragrunder” på Youtube.

GeoGebra för lärare: Astronomins dag och natt (Sålt på en kafferast)

Lördag 24 september är det Astronomins dag och natt med astronomiaktiviteter över hela landet. Därför vill jag visa en modell av Jorden och Månens rörelse runt Solen, byggd i GeoGebra.

Klicka på animeringen för att gå till konstruktionen

På grund av förändringar i hur konstruktioner presenteras så behöver du själv högerklicka på variabeln/glidaren ”t” i algebrafönstret (området till vänster när du klickat dig fram till konstruktionen på geogebra.org) och välja Animation för att starta ”rörelsen”.

I verkligheten är avstånden sådana att formen på månens bana aldrig blir konkav, men i animeringen blir den mer ”blomlik”.

Konstruktionen (eller ”appleten”) är en del av flera konstruktioner samlade i en GeoGebrabok som heter Sålt på en kafferast som är byggd av Svetlana och Anders. Till varje konstruktion i boken finns också en screencast på hur du själv kan skapa konstruktionen. Det gör den till ett utmärkt verktyg att börja lära sig bygga egna konstruktioner.

GeoGebra i framtida digitala nationella prov

Skolverket har nu börjat konkretisera planerna för de framtida digitala nationella proven i matematik. Det är nu klart att det kommer att finnas GeoGebra, eller ett snarlikt verktyg, tillgängligt för eleverna. Efter samtal med en som faktiskt sett provverktyget tolkar jag det som att det rör sig om en integrerad version av GeoGebra som i allt väsentligt har hela GeoGebras funktionalitet, ungefär som den version som Exam.net använder sig av.

Skolverket har därför vänt sig till Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM, och givit dem i uppdrag att skapa en lärmodul (av samma slag som finns på lärportalen) för vardera högstadiet och gymnasiet med fokus på GeoGebra. Den modul som redan finns för digitala verktyg kommer att tas bort efter jul. NCM har i sin tur kontaktat Mats Brunström och Maria Fahlgren från Karlstads Universitet och Karlstads GeoGebrainstitut samt mig från Svenska GeoGebrainstitutet för att konstruera den här modulen. Tanken är att den skall vara klar för användning till vårterminen 2023.

Det är bra att Skolverket nu äntligen är tydliga med vad digitala hjälpmedel innebär och väljer det som blivit en internationell standard. GeoGebra används aktivt i så gott som alla världens länder och är översatt till över 50 språk. Möjligen kunde det förtydligandet kommit tidigare så läromedelsföretagen och lärarkåren kunde startat tidigare och därför kommit längre.

För det är ingen liten sak som ska sjösättas. Matematiklärare är den lärargrupp som använder digitala verktyg minst i sin undervisning (tabell 5.27 på sid 83 i Skolverkets rapport från 2015). Men för att Sveriges elever skall ha likvärdiga möjligheter så krävs det att ALLA lärare undervisar ALLA elever om (och med och i) GeoGebra i både högstadiet och gymnasiet inom något år.

Det finns flera aspekter kring detta att diskutera. De rent tekniska färdigheterna ska tränas in. Till detta finns det redan screencasts och dokument i mängder för den som bara tar sig tiden (vilket säkert kommer att resultera i en del facklig indignation och hårda prioriteringar). Sedan har vi den pedagogiska aspekten: Hur använder jag bäst GeoGebra i klassrummet för att lära eleverna matematiska begrepp och procedurer (genom att utnyttja de visuella, dynamiska och undersökande aspekterna av GeoGebra). Tidsaspekten: Hur hinner jag med detta (genom att låta det bli en så naturlig del av din undervisning att både du och dina elever växlar sömlöst mellan att jobba för hand och med verktyget).

GeoGebra är vad jag kallar för ett ”bottenlöst” program. Precis som Excel och Word så kan du använda det – på din egen nivå – i åratal och ändå inte ha lärt dig alla funktioner som finns. Men precis som Excel och Word så kan du ändå använda det ganska bra efter bara lite träning. Efter det kommer resten med tiden och vanan.

Tveka inte att berätta för mig vilken hjälp just du skulle vilja ha för att bättre komma igång med GeoGebra.

System av differentialekvationer i GeoGebra på en elevs dator

GeoGebra för lärare: Dynamisk text

Ibland är en bild INTE värd 1000 ord. Här visar jag en del användbara kommandon och tekniker för att hantera dynamiska beskrivande texter i GeoGebra.

Konstruktion av Anders Björling

Etiketter

Vi börjar med ett enkelt exempel: Mata in följande, på var sin rad, följt av ENTER:

k = 2
m = 3
f(x) = k x + m (observera mellanslaget mellan k och x)

Högerklicka på linjen och välj Visa etikett. Ställ in vad etiketten ska visa genom att gå in i linjens inställningar. Välj att visa Namn och värde.

Den här etiketten har tydliga begränsningar. Du kan inte placera den var du vill eller formatera den hur du vill. För att kunna göra det skapar vi en mer flexibel etikett genom att dra linjens algebraiska representation i algebrafönstret ut till ritområdet och släppa den där. Då skapas en separat dynamisk text som har egna inställningsmöjligheter. Du kan placera den på en fast punkt i fönstret (oavsett hur du zoomar) eller låsa den vid en namngiven punkt eller valfri koordinat. Du kan ändra storlek, stil och färg och om du uppdaterar funktionen f så uppdateras texten.

Dynamisk text

För att skriva helt egna dynamiska texter klickar vi på verktyget Infoga text

Till vänster Calculator Suite, till höger Classic

och sedan i ritområdet där vi vill ha texten (du kan finjustera positionen senare). Då öppnas dialogrutan Infoga text.

Dialogrutan Infoga text med de avancerade kontrollerna nedfällda. Till vänster med förhandsvisningen (första fliken) aktiv. Till häger med objektsvalet (andra fliken) aktiv. Klickar du på ett objekt där så infogas objektets värde dynamiskt i texten. Tredje och fjärde flikarna låter dig välja symboler och mer komplicerade matematiska strukturer som rottecken, integraler och summatecken m.m.

Nu kan du skriva vilken text du vill. Alla objekt du skapat finns under den andra fliken i de avancerade kontrollerna. Infogar du ett sådant objekt ersätts det dynamiskt med sitt värde. Det går också att infoga tomma formelfält för att göra beräkningar direkt i dialogen. Symboler, rottecken etc finns att hämta under de andra flikarna.

Precis som förut kan du sedan bestämma storlek, stil, färg, position, antal visade decimaler etc i inställningarna för texten. Här har jag använt storleken ”mellan” och gul bakgrundsfärg samt blandat sans serif med serif.

För flera exempel på dynamisk text, se den här sidan i GeoGebra Builders Handbook.

Specialkommandon

  • FormelText(objekt, true, true) skapar en etikett precis som om du drar objektet från algebrafönstret ut till ritområdet.
  • Grundpotensform(tal) skapar en text som visar ett tal skrivet i grundpotensform. Tyvärr behövs det här kommandot då GeoGebra tenderar att visa mellanstora och mellansmå tal utan varken tiopotens eller tusentalsavgränsare.
Det är ibland svårt att avkoda tal utan att använda kommandot Grundpotensform()

RationellaTalText() och RotUtrycksText() är kommandon som försöker ge exakta representationer av tal i decimalform. Här används Rotuttryckstext() för att hitta ett exakt uttryck för förhållandet mellan en regelbunden femhörnings diagonal och dess sida.

Femhörningen skapades med hjälp av polygonverktyget och då skapades punkterna och sträckan s samtidigt. Sträckan döptes om till s i efterhand.

Avancerat

Tabeller

Tabeller är bra för att organisera information. GeoGebra har kommandot TabellText(listor) för att skapa tabeller. Syntaxen är lite knepig att minnas så det finns ett onlineverktyg för att formulera kommandot som du vill ha det.

LateX

Givetvis kan du även använda LaTeX i GeoGebra. Aktivera LaTeX-läget i Infoga text-dialogen och skriv vad du vill. Här är några exempel samlade i GeoGebra Builders Handbook.

\cfrac{2}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{2}{1}}}}

GeoGebra för lärare: CAS

Computer Algebra System, CAS hanterar symbolisk algebra men vad kan det göra, egentligen? Och ska inte eleverna lära sig göra det här för hand?

I det här inlägget i serien GeoGebra för lärare så visar jag mina personliga favoriter i CAS. Öppna CAS-fönstret med Ctrl-Shift-K så sätter vi igång.

Fakultetsberäkningar

I CAS är alla beräkningar exakta (om du inte specifikt ber om numeriska svar) och alla siffror skrivs ut korrekt i heltal. Om du beräknar fakulteten för ett tal ≥ 22 så kommer ”vanliga” GeoGebra (algebrafönstret) att ge dig ett avrundat värde medan CAS visar alla siffror korrekt. Prova att slå in 100! i CAS får du se ett ännu tydligare exempel.

Till vänster algebrafönstret, till höger CAS-fönstret

Ekvationslösning

CAS är suveränt för att få exakta lösningar på ekvationer. Oavsett om det är linjära ekvationer vars lösningar lämpligen uttrycks i bråkform eller om det är andragradsekvationer eller rotekvationer så ger CAS de exakta värdena där det är möjligt.

Bara äkta rötter anges i rotekvationer

För att lösa en ekvation kan du antingen använda kommandot Lös(…) eller skriva in ekvationen direkt och trycka på x=-knappen. Vill du ha numeriska lösningar använder du NLös(…) eller x≈.

En av mina absoluta favoriter är att definiera en funktion f och sen skriva Lös(f’ = 0). Det kommandot spar väldigt mycket jobb då du ska hitta extrempunkter. Självklart ska eleverna kunna göra sådant för hand också, men ibland kanske det är hela problemlösningen som ska tränas snarare än algebran. Det gäller ju att göra eleverna bra främst på det som datorerna INTE klarar.

Substituera in värden i formler

I fysiken jobbar du ofta med formler. Substitutionskommandot och substitutionsknappen gör det enkelt att mata in värden på kända variabler och på så sätt få en väldigt enkel ekvation som går lätt att lösa.

Substitutionsdialogen

Här nedan ser vi dessutom exempel på hur vi refererar till tidigare rader med $1, $2 och så vidare. Det går att använda #1, #2… också men då blir referenserna inte dynamiska, det vill säga de uppdateras inte om du ändrar raden de refererar till så jag använder alltid $-tecknet.

Newtons gravitationslag används för att bestämma Jordens massa

Ändra form på uttryck

För polynom finns två huvudsakliga former: Expanderad form (normalform, summaform…) och faktorform. För andragradspolynom finns dessutom vertexform. GeoGebra har kommandon för alla dessa. Jag använder detta framför allt när jag vill visa formerna för eleverna innan de sätter sig att träna på att göra omvandlingar mellan formerna för hand. Här är en film som visar detta.

Vanlig förenkling sker till normalform = expanderad form.

Dynamisk algebra

Skapa en glidare, n, som du ställer in så att den bara antar heltalsvärden genom att sätta dess steglängd till 1 i inställningarna.

Algebraiska uttryck som beror av n ändras då dynamiskt då du ändrar värdet på n. Det här kan till exempel användas för att visa binomialregeln.

Här har vi placerat CAS-fönstret under algebrafönstret där glidaren n är definierad

Här är avslutningsvis lite filmer som visar andra aspekter av CAS: