Jonas Hall, Förstelärare i matematik, fysik och astronomi på Rodengymnasiet i Norrtälje. En av grundarna till Svenska GeoGebrainstitutet där jag ansvarar för svensk översättning, support, webbplats m.m.
Det finns ett stort antal tangentbordsgenvägar i GeoGebra och ditt arbete förenklas betydligt om du kan de viktigaste. Det här är del 1 av två och den andra delen finns här.
Det mesta som presenteras här finns också sammanfattat i ett Worddokument som kan sättas upp i klassrummet. Den ursprungliga sammanställningen gjordes av min kollega Mattias Ramström.
Räkneoperationer
Räkneoperation
Skriv
Exempel
Resultat
Addition
+
2000 + 3
= 2003
Subtraktion
–
3 – 2000
= –1997
Multiplikation
* eller mellanslag
3*65 eller 3 65
= 195
Division
/
5/2
= 2.5
Decimaltecken
.
3.14 / 2
= 1.57
Exponent (*)
a^b
2^10
= 1024
Tiopotenser
E
2.5E-6
= 0.0000025
Trig. funktioner
sin(x), cos(x), tan(x)
sin(30°), cos(π), tan(0)
= 0.5 = –1 = 0
Inv. trig. funkt. (**)
asin(x), acos(x), atan(x)
asin(0.5)
= 30°
10-logaritmen av x
lg(x) eller log10(x)
lg(100)
= 2
Naturliga logaritmen
ln(x) eller log(x)
ln(10)
= 2.30259
a-logaritmen av x
log(a,x)
log(3, 81)
= 4
Grundläggande räkneoperationer i GeoGebra
* För att skriva ^-tecknet, tryck Shift + -knappen på tangentbordet, och sedan nästa tecken (mellanslag, siffra eller något annat) för att få fram tecknet. Ett alternativt sätt att skriva en siffra (dock ej bokstav) som exponent är att hålla ned Alt-knappen och sedan skriva siffran. a Alt+3 → a3
** Du kan ställa in i GeoGebra om du vill få svaret i grader eller radianer.
Specialtecken
Grekiska bokstäver och övriga tecken fås genom att hålla in Alt och sedan trycka motsvarande bokstav på tangentbordet. Inte alla grekiska bokstäver kan direkt fås med en tangentbordsgensväg. (I Classic 5 kan de andra hämtas genom att trycka på ”α”-knappen längst till höger i inmatningsfältet).
Grekiska versaler fås genom att hålla in Skift + Alt och sedan bokstaven.
Bokstav
Versaler
Gemener
Tryck [alt]+
Namn
Symbol
Tryck [alt]+
Alfa
Α
α
a
Pi
π
p
Beta
Β
β
b
Eulers konstant
e
e
Gamma
Γ
γ
g
Imaginära i
i
i
Delta
Δ
δ
d
Gradtecken
°
o
Theta
Θ
θ
t
Rottecken
√
r
Fi
Φ
φ
f
Oändlighet
∞
u
Lambda
Λ
λ
l
My
Μ
μ
m
Kvadrat
²
2
Omega
Ω
ω
w
Kub
³
3
Sigma
Σ
σ
s
etc
Grekiska bokstäver och specialtecken
Virtuella tangentbord i olika versioner
GeoGebra Classic 5 har ett äldre virtuellt tangentbord som du kommer åt genom Visa-menyn.
GeoGebra Classic 6 och Calculator Suite har ett virtuellt tangentbord som du aktiverar med ikonen längst ned till vänster i fönstret.
Det har allt du rimligen behöver för att skriva matematik:
Övrigt
Du kan också få fram tecknet π genom att skriva ”pi”. x(A) plockar ut x-koordinaten av punkten A. Samma med y(A) för y-koordinaten. xAxeln och yAxeln är namnen på axlarna. Shift-Ctrl-C kopierar ritområdet till Urklipp. Klicka i ”ringarna” för att visa/dölja objekt.
Nästa och avslutande del om tangentbordet finns här.
Men det är också ett utmärkt verktyg för att skapa begreppsförståelse och tydligare se vad som händer i olika situationer, till exempel hur binomialfördelningen mer och mer liknar normalfördelningen när antalet upprepningar växer, och ta upp begreppet sannolikhetsfördelning mer generellt.
Normalfördelning
Vi tänker oss att vi fiskat upp fiskar med medellängden 35 cm och standardavvikelsen 4 cm. Sannolikheten att få en fisk längre än 40 cm kan då beräknas till drygt 10 %. Observera att vi med digitala verktyg inte är beroende av att jobba med intervall som är hela multiplar av standardavvikelsen.
Lägg märke till hur kurvan inte ändrar form, utan skalan gör det
Vilken typ av intervall vi tittar på avgörs med klammersymbolerna.
Öppet åt vänster, stängt, dubbla ytterinterval samt öppet till höger
Uppe till höger finns alternativ för att exportera grafen och dess funktion till ritområdet samt lägga på en normalfördelningskurva (vilket är mer relevant när vi jobbar med något annat än just normalfördelningen).
När vi har ensidigt öppna intervall som i det här exemplet så går det att ställa frågan åt andra hållet. Om du vill hitta den längd på fiskarna som bara 5 % av fiskarna är längre än, så matar du in 0.05 i den högra rutan. och hittar längden 41,6 cm.
I vårt nästa exempel tänker vi oss att vi är i en fabrik som ska producera motstånd med värdet 2200 Ω ± 5 %.
Mätning på motstånd
Efter mätning på motstånden finner man att medelvärdet är 2217 Ω med standardavvikelsen 85 Ω. Hur stor andel behöver säljas som motstånd med sämre toleransmärkning, t.ex. ±10 % eller ± 20 %? Totalt ca 47 % uppfyller inte kraven på 5 % tolerans.
Binomialfördelning
När vi upprepar något som har en fast sannolikhet så kommer resultaten att bli binomialfördelade. Exempel på detta är att singla slant, att chansa vilt på frågorna i en tipspromenad, att dra kulor eller kort med återläggning och att få grönt ljus vid ett trafikljus där intervallen är fixerade.
Här fyller vi i ett stryktips med 13 rader ”1 x 2” på måfå och beräknar sannolikheten att få 8 rätt eller mer till ca 3,5 %. Vi har lagt på normalfördelningskurvan och ser att binomialfördelningen i hög grad liknar normalfördelningen i det här fallet. Tabellen ger värdena för de individuella utfallen.
Att chansa på stryktips lönar sig sällan
Nu gör vi tvärtom. Vi singlar slant 15 gånger. Det borde vara 50 % sannolikhet att få 8 ”kronor” eller mer. Hur mycket behöver vi begränsa det intervallet för att sannolikheten skall sjunka till 20 %? Mata in 0.3 i högra rutan så får vi svaret 9 ”kronor” eller fler. Mata in 9 på nytt i vänstra rutan för att dubbelkolla. Sannolikheten är 30,4 %, men för 10 ”kronor” är sannolikheten bara 15,1 %. GeoGebra avrundar till det nedre värdet på antalet kronor.
Krona och klave
Hypergeometrisk fördelning
Bakom det här kryptiska namnet döljer sig den fördelningsfunktion som beskriver sannolikheterna för att dra några objekt med en viss egenskap ur en större mängd objekt. Med andra ord: Dra kort ur kortlekar och kulor ur påsar utan återlägg.
Vi börjar med att dra upp 2 kulor (urval) ur en påse med 5 kulor (population) där 2 av dem är röda (n). Sannolikheten för att minst en av dem är röd är 70 %. Vi ser i tabellen att sannolikheten att båda är röda är 10 %. Samma resultat kan enkelt verifieras med ett träddiagram.
Dra kulor ur påse utan återlägg.
I vårt sista exempel spelar vi poker. Vi drar upp 5 kort av 52 och funderar på sannolikheten att få en färg (flush). Sannolikhetskalkylatorn ger sannolikheten att få exakt 5 kort av en viss färg till 0,05 %. Men vi är nöjda vilken färg det än blir så sannolikheten blir alltså ca 0,2 %. Sannolikheten att få minst 4 kort av samma färg är förstås högre, ca 4,5 % ( 4 gånger 0.0112).
Dra 5 kort ur en kortlek. Vad är sannolikheten att alla är hjärter?
Du vill illustrera cirkelns ekvation eller hur de trigonometriska funktionerna hänger ihop med enhetscirkeln. Du skapar en cirkel och sätter en punkt på den som du kan dra runt. Så slår det dig att det skulle vara illustrativt att rita ut en triangel i cirkeln så att hypotenusan ligger längs radien. Men hur gör du?
För att visa koordinaterna ändrar du i punktens inställningar
Vi behöver en till punkt på x-axeln, en punkt som alltid har samma x-koordinat som punkten C. Det kan vi skapa genom att skriva (x(C), 0). funktionen x(C)plockar ut (eller beräknar om du så vill) punkten C:s x-koordinat. På samma sätt kan du få y-koordinaten genom att skriva y(C).
Triangeln kan skapas med polygonverktyget eller med kommandot Polygon()
Med punkten på plats kan du skapa triangeln. Punkt D följer snällt med när du drar i C.
Ett till exempel: Du kan skapa en rektangel genom att skapa en punkt A i origo och punkterna B och C på x-axeln och y-axeln. Genom att plocka ut x-koordinaten för B och y-koordinaten för C så kan du skapa det sista hörnet som punkten D = (x(B), y(C))
Ändra storlek på sidorna genom att dra i B och C.
Lägg märke till att punkter som är helt bestämda (som A och D) är svarta och punkter som du kan dra i (som B och C) är blåa.
Vi kan också använda begreppet plocka ut i några fler situationer. Om du gjort en regression så vill du ibland räkna vidare med de framräknade parametrarna. Hur gör du det om du vill slippa skriva om alla decimaler?
Låt oss ta ett konkret exempel. Om du joggar och vill hålla koll på din kondition och hastighet är det vanligt att arbeta med kilometertider, alltså hur lång tid det tar att springa en kilometer. Låt oss säga att du springer 8 km genom att springa fyra varv på en 2 kilometersslinga. Varje gång du passerar starten noterar du tiderna som blir 8.30, 16.45, 26.15 och 33.45. Vad blir medelhastigheten?
Hastigheten i km/h är 60/kilometertiden
Vi skapar punkter och gör en regression av typen y = kx. Om du är osäker på hur du gör för att slippa konstanttermen så titta på inlägget om regressioner.
I det här diagrammet har vi sträckan i km i minuter på x-axeln och tiden på y-axeln. k-värdets enhet blir alltså minuter/km. För att förvandla den här kilometertiden till hastighet i km/h så får vi ta 60 dividerat med kilometertiden. Alltså behöver vi räkna vidare med lutningen. Hur gör vi det?
Kommandot Koefficienter(f) ger oss en lista med koefficienterna. Kommandot plockar ut koefficienterna från funktionen.
Därefter plockar vi ut första koefficienten genom listanropetl1(1). Vi passar på att ge värdet ett begripligt namn på en gång. Nu kan vi utföra beräkningen. Löparens medelhastighet är ca 14 km/h.
För att summera så kan du plocka ut värden få flera olika sätt:
Plocka ut koefficienterna från en regressionsfunktion: Om f är funktionen som vi bestämt med en regression så blir Koefficienter(f(x)) = {4.263, 0} alltså en lista med koefficienter.
Plocka ut ett element i en lista: Om l1 är listan med värden så blir l1(1) det första elementet i listan, här värdet 4.263. Om l2 är en lista med punkter som vi skapade nyss så blir l2(1) den första punkten i listan.
Plocka ut x- och y-koordinaterna för en punkt: Om A = (2, 8.5) så blir x(A) = 2 och y(A) = 8.5. De fördefinierade funktionerna x(punkt) och y(punkt) plockar ut koordinaterna för en punkt. Väldigt användbart för att lägga till element som punkter och hjälplinjer i figurer.
I helgen gick den 11:e Nordisk-Baltiska GeoGebrakonferensen av stapeln, denna gång i Helsingfors. Det enklaste sättet att ta del av presentationer och foton är att gå med i Facebookgruppen NGGN Infinity (Nordic GeoGebra Network, ”infinity” är för att vi återanvänder gruppen från år till år). I den gruppen ligger presentationer, och i vissa fall inspelningar av föreläsningar. Missa för allt i världen inte Tim Brzezinskis föreläsning om ”Open middle problems”.
2023 års konferens kommer att arrangeras i Stockholm, så se till att prata med din rektor om fortbildningspengar för detta redan nu. Vi kommer dessutom behöva hjälp med arrangemang och programinnehåll så se till att hålla koll på den här kanalen. Det här passar väldigt bra i tiden med tanke på att GeoGebra kommer att användas som digitalt verktyg i de framtida digitala nationella proven.
Markus Hohenwarter (GeoGebras grundare) och Tanja Wassermair (Chef för webbsidan) kunde också berätta en hel del om kommande nyheter. I GeoGebra Classroom kommer det att bli möjligt att ge feedback till individuella elever till jul men jag var jag personligen mer imponerad av en testsida där Mike Borderch (chefsutvecklare) har gjort en fungerande Python-GeoGebrahybrid där du kan skriva Pythonscript för att generera objekt i Ritområdet. Du kan själv testa detta redan nu. Prova också att leka med koden. För att skapa superellipser kan du byta ut koden mot
for x in range(12):
s = str(x*0.25)
evalCommand("x^4+y^4=" + s + "^4")
Berätta gärna vad du tycker och vad du personligen skulle vilja kunna göra med detta.
En lista är i matematiken en ordnad följd av objekt. Det är ofta tal men kan precis lika gärna vara en följd av koncentriska cirklar, algebraiska termer eller punkter. I det här inlägget gör vi en djupdykning i vad du kan göra med listor i GeoGebra.
Skapa listor
Det finns flera sätt att skapa listor i GeoGebra.
Direkt inmatning med klamrar {…}
Du skapar en kort lista enklast genom att skriva in den direkt. L = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} skapar listan L som innehåller de första 11 naturliga talen. Varje element i listan ska separeras med kommatecken och listan avgränsas med klamrar {…}. Just den här listan kan också skapas med skrivsättet L = {0..10} (2 eller fler punkter). Det fungerar bara för konsekutiva heltal.
Verktyget skapa lista
Klicka på verktyget Skapa Lista i verktygsmenyn (i Calculator Suite får du klicka på ”Flera…” längst ned) och dra upp en markeringsrektangel runt ett antal punkter, sträckor, cirklar och andra objekt så skapas en lista med dessa objekt. Det går också bra att markera objekten först och klicka på verktyget sen, men då drar du upp markeringstriangeln med höger musknapp.
I Classic ligger ”Skapa lista” i mätmenyn, i Calculator Suite bland punktverktygen
Skapa lista med punkter i kalkylbladet
Du kan mata in x- och y-koordinater i två kolumner i kalkylbladet (Classicversionerna), markera dessa värden, högerklicka och välja Skapa… Lista med punkter så skapas punkterna och en lista med punkterna. Det här är användbart om du sen ska göra någon regression på dessa data.
Hänvisa till kalkylbladet – regressioner
GeoGebra (classicversionerna) har ett kalkylblad som kan innehålla valfria objekt. I Excel kan varje cell innehålla text eller ett tal eller en formel som genererar en text eller ett tal. I GeoGebra kan varje cell innehålla även punkter, sträckor, cirklar etc. Du skapar t.ex. en punkt i kalkylbladet genom att skriva in (2, 3) i cellen.
Om du har x-värden i A-kolumnen och y-värden i B-kolumnen så kan du skapa punkter i C-kolumnen genom att i C2 skriva (A2, B2) (vi antar att rad 1 är reserverad för beskrivande rubriker). Därefter kopierar du ned formeln genom att dra i den lilla fyrkanten nere till höger i cellen. Ett område i kalkylbladet fungerar automatiskt som en lista. RegressionLin(C2:C6) kommer alltså att göra en linjär regression på de punkter som finns i cellerna C2 till C6.
Talföljd(uttryck, variabel, start, stopp, (steg))
Ett av de kraftfullaste sätten att skapa listor är med kommandot talföljd. Låt inte lura dig av namnet på kommandot – det kan skapa listor av alla typer av objekt, inte bara tal. Du kan till exempel skapa en uppsättning koncentriska cirklar med kommandot Talföljd(Cirkel( (0,0), sqrt(100 – r^2)), r, 1, 10).
Kommandot talföljd fungerar därmed som en slags FOR-loop om vi betraktar det ur ett algoritmiskt perspektiv. Det kan utläsas som ”Beräkna uttryck då variabel går från start till stopp (med hopp om steg)”
Koncentriska cirklar som visar en uppskivning av ett klot – kanske användbart då rotationsvolymer ska förklaras.
Men självklart är kommandot väldigt användbart för att visa på likheterna arbeta med aritmetiska och geometriska (och andra) talföljder. Låt eleverna experimentera fram talföljder vars tredje term är 8 och elfte term är 35 innan de får hitta rätt uttryck algebraiskt.
Använda enskilda värden i en lista
om L = {3, 6, 12, 24, 48, 96} så är L(1) = 3 och L(5) = 48. Du kan också ”räkna baklänges” så L(-1)= 96 och L(-5) = 6.
Listor i Calculator Suite
GeoGebra Calculator Suite har inget kalkylblad men listor som skapas på andra sätt fungerar precis som i GeoGebra Classic.
Det finns dessutom en tabell där du kan mata in värden. Värdena i kolumnerna går att arbeta med som om de vore vanliga listor men listan som ser ut att heta bara ”x” heter egentligen x1 (skrivs x_1). Dessa listor kan du kan inte döpa om och de kan bara visas i tabellen om de först skapats där.
Calculator Suite visar punkter automatiskt
Fler saker du kan göra med listor
Tvåpotenser och kvadrater etc
Om X = {0..10} så kommer 2^X att skapa en lista med tvåpotenser och X^2 att skapa en lista med kvadrater.
Tabeller
Om V = Talföljd(a, a, 0, 360, 15) så kommer sin(V°) att ge tabellvärden för sin (0°), sin(15°), sin(30°)… sin(360°). Det är dock kanske mer meningsfullt att göra detta i kalkylbladet.
Tre decimaler kan vara lämpligt
Funktioner som punktmängder
Skapa X = {-8..8} och L = 0.5X – 2. (X, L) ger nu 17 punkter. Det ger en bild av funktionen y = 0.5x – 2 som är baserad bara på ett fåtal punkter vilket kan vara användbart för att befästa idén att en linje är en mängd av punkter.
Om du i stället skapar n = 0 och X = Talföljd(a, a, -8, 8, 10^(-n)) kan du variera antalet punkter genom att variera värdet på glidaren n mellan ca 0 och 2.
Räta linjer med olika k-värden
Om m är en glidare (skapa genom att skriva t.ex. m = 2) så kommer Talföljd(k x + m, k, -4, 4, 0.5) att generera räta linjer vars k-värden går från -4 till 4.
Simuleringar med slumptal
Du kan skapa 100 slumpvisa punkter med kommandot Talföljd((SlumpFördelning(-5, 5), SlumpFördelning(-5, 5)), j, 1, 50). Här är variabeln j en dummyvariabel som inte används i beräkningen. Tryck på F9-tangenten på tangentbordet för att uppdatera slumpberäkningarna och få 100 nya punkter. Det här är ett användbart sätt att börja bygga simuleringar. Det går givetvis lika bra att lägga slumpkommandot i 50 rader i kalkylbladet men ska du göra 1000 punkter är nog kalkylbladet inte längre lika smidigt. Här finns länkar till de olika slumpkommandon som finns i GeoGebra på engelska. Alla slumptaskommandon börjar på ”Slump…” så skriv det inne i GeoGebra så hittar du de olika kommandona.
Simulera tärningar
SlumpElement(L) levererar att slumpvis element ur listan L. Som alla slumpkommandon så kan det vara bra för simuleringar av olika sannolikhetssituationer. Här är en sån: Du har tre tärningar som är märkta 116688, 224499 och 335577. Vilken tärning är ”bäst”? Svaret är förvånande. Läs mer här och här.
Vi kan simulera detta genom att först skapa listor som representerar tärningarna. T1 = {1, 1, 6, 6, 8, 8} etc.
100 kast med T1 kan simuleras med kommandot T100 = Talföljd(SlumpElement(T1), j, 1, 100) 100 kast med T1 och T2 kan simuleras med kommandot T12=Talföljd(Om(SlumpElement(T1) > SlumpElement(T2), 1, 2), j, 1, 100). Den resulterande listan innehåller 1:or och 2:or beroende på vilken tärning som vann kastet. Beräknar vi medel(T12) kan vi se att T1 verkar vinna över T2. På samma sätt vinner T2 och T3 men T3 vinner över T1. Du kan alltså (i längden) vinna över andra genom att be dem välja tärning först.
Ännu fler saker du kan göra med listor
Fler kommandon
Element(L, n) är ett kommando som gör samma sak som L(n), alltså plockar ut det n:e elementet ur L.
I enstaka fall kan element bli odefinierade, t.ex. vid lösning av andragradsekvationer. Kommandot TaBortOdefinierat(L) rensar bort sådana värden så att medelvärden etc kan beräknas på de kvarvarande värdena.
UnikaElement(L) skapar en lista som bara innehåller en instans av varje element och kan alltså liknas vis att konvertera en lista till en mängd.
Egna axelmarkeringar (och axlar)
Om dx och dy är glidare så kommer listan E = Talföljd(Text(”↓”, (j + dx, dy)), j, -10, 10, 1) att skapa egna axelmarkörer. Glidarna dx och dy justerar positionen på markörerna (men zoomar du behöver du justera om).
Majsormen Enya. Hennes syster Moya är just nu inte i bild.
Jag har två ofarliga majsormar i mitt terrarium som livnär sig på möss (professionellt uppfödda, dödade och frysta och sedan upptinade vid matningstillfället).
Ormarna är ca ett år gamla och växer fortfarande. Sist jag köpte möss köpte jag ett 100-pack i viktspannet 8-18 g. Eftersom jag vill ge ormarna de minsta först och sedan öka storleken allt eftersom de växer så vägde jag alla mössen individuellt och packade om dem i olika påsar. Så här många möss hamnade i varje påse:
Vikt(gram)
Antal
8-10
17
10-12
27
12-14
34
14-16
19
16-18
3
Det här är ett exempel på klassindelat material. Det är å ena sidan ett destruktivt sätt att hantera mina data eftersom jag slänger bort information om vad varje individuell mus vägde, men å andra sidan så tjänar jag på att slippa dokumentera alla hundra mössens vikter.
Att göra statistik på klassindelat material är ett typexempel på saker som är bra att göra med dator. Det är omständigt, to say the least, att göra det för hand och kräver god organisation. Självklart ska man ha provat någon gång men framför allt behöver man kunna processen för hur man får datorn att göra jobbet åt en.
Det som nu följer baserar sig på GeoGebra Classic 6 men kunde lika gärna varit i Classic 5. Calculator Suite däremot har tabeller i stället för kalkylblad så där går det lite annorlunda till.
Vi låter alla värden representeras avklassmitten i respektive klass. Klassmitten i klassen 8-10 g är 9 g. Det här antagandet kan behöva göras tydligt för eleverna. Vi vet ju egentligen inte mössens individuella vikter, så det här är det bästa vi kan åstadkomma utan djupare analys. Till varje värde (klassmitt) hör antalet möss i den klassen = frekvensen. Alla dessa värden skriver vi in i kalkylbladet.
Vi markerar alla värden i båda kolumnerna och väljer verktyget Envariabelanalys. Klickar vi på summatecknet hittar vi all relevant statistik, som medelvärdet och standardavvikelsen. Det går också att använda kommandona medel(klassmitter, frekvenser) och stdev(klassmitter, frekvenser). Klassmitter och frekvenser skall antingen vara referenser till områden i kalkylbladet som A2:A6, eller GeoGebralistor med klamrar runt sig som {9,11, 13, 15, 17}.
För att rita ut motsvarande histogram krävs en lista med klassgränser. I det här fallet är klassgränserna 8, 10, 12, 14, 16 och 18. Lägg märke till att det finns en mer av gränserna än vad det finns av frekvenser, klasser och klassmitter.
Med gränserna på plats kan du använda kommandot Histogram(klassgränser, frekvenser) vilket ritar ut histogrammet i ritområdet. Det kan vara så att du behöver justera fönsterinställningarna om du har värden på klassgränserna som är högre än ca 10.
Du kan också välja att visa histogrammet direkt i verktyget Envariabelanalys, men då måste du göra manuella inställningar av klassgränserna där. Du hittar de inställningarna om du klickar på kugghjulet.
Klicka på animeringen för att gå till konstruktionen
På grund av förändringar i hur konstruktioner presenteras så behöver du själv högerklicka på variabeln/glidaren ”t” i algebrafönstret (området till vänster när du klickat dig fram till konstruktionen på geogebra.org) och välja Animation för att starta ”rörelsen”.
I verkligheten är avstånden sådana att formen på månens bana aldrig blir konkav, men i animeringen blir den mer ”blomlik”.
Skolverket har nu börjat konkretisera planerna för de framtida digitala nationella proven i matematik. Det är nu klart att det kommer att finnas GeoGebra, eller ett snarlikt verktyg, tillgängligt för eleverna. Efter samtal med en som faktiskt sett provverktyget tolkar jag det som att det rör sig om en integrerad version av GeoGebra som i allt väsentligt har hela GeoGebras funktionalitet, ungefär som den version som Exam.net använder sig av.
Det är bra att Skolverket nu äntligen är tydliga med vad digitala hjälpmedel innebär och väljer det som blivit en internationell standard. GeoGebra används aktivt i så gott som alla världens länder och är översatt till över 50 språk. Möjligen kunde det förtydligandet kommit tidigare så läromedelsföretagen och lärarkåren kunde startat tidigare och därför kommit längre.
För det är ingen liten sak som ska sjösättas. Matematiklärare är den lärargrupp som använder digitala verktyg minst i sin undervisning (tabell 5.27 på sid 83 i Skolverkets rapport från 2015). Men för att Sveriges elever skall ha likvärdiga möjligheter så krävs det att ALLA lärare undervisar ALLA elever om (och med och i) GeoGebra i både högstadiet och gymnasiet inom något år.
Det finns flera aspekter kring detta att diskutera. De rent tekniska färdigheterna ska tränas in. Till detta finns det redan screencasts och dokument i mängder för den som bara tar sig tiden (vilket säkert kommer att resultera i en del facklig indignation och hårda prioriteringar). Sedan har vi den pedagogiska aspekten: Hur använder jag bäst GeoGebra i klassrummet för att lära eleverna matematiska begrepp och procedurer (genom att utnyttja de visuella, dynamiska och undersökande aspekterna av GeoGebra). Tidsaspekten: Hur hinner jag med detta (genom att låta det bli en så naturlig del av din undervisning att både du och dina elever växlar sömlöst mellan att jobba för hand och med verktyget).
GeoGebra är vad jag kallar för ett ”bottenlöst” program. Precis som Excel och Word så kan du använda det – på din egen nivå – i åratal och ändå inte ha lärt dig alla funktioner som finns. Men precis som Excel och Word så kan du ändå använda det ganska bra efter bara lite träning. Efter det kommer resten med tiden och vanan.
Tveka inte att berätta för mig vilken hjälp just du skulle vilja ha för att bättre komma igång med GeoGebra.
System av differentialekvationer i GeoGebra på en elevs dator
Vi börjar med ett enkelt exempel: Mata in följande, på var sin rad, följt av ENTER:
k = 2 m = 3 f(x) = k x + m (observera mellanslaget mellan k och x)
Högerklicka på linjen och välj Visa etikett. Ställ in vad etiketten ska visa genom att gå in i linjens inställningar. Välj att visa Namn och värde.
Den här etiketten har tydliga begränsningar. Du kan inte placera den var du vill eller formatera den hur du vill. För att kunna göra det skapar vi en mer flexibel etikett genom att dra linjens algebraiska representation i algebrafönstret ut till ritområdet och släppa den där. Då skapas en separat dynamisk text som har egna inställningsmöjligheter. Du kan placera den på en fast punkt i fönstret (oavsett hur du zoomar) eller låsa den vid en namngiven punkt eller valfri koordinat. Du kan ändra storlek, stil och färg och om du uppdaterar funktionen f så uppdateras texten.
Dynamisk text
För att skriva helt egna dynamiska texter klickar vi på verktygetInfoga text
Till vänster Calculator Suite, till höger Classic
och sedan i ritområdet där vi vill ha texten (du kan finjustera positionen senare). Då öppnas dialogrutanInfoga text.
Dialogrutan Infoga text med de avancerade kontrollerna nedfällda. Till vänster med förhandsvisningen (första fliken) aktiv. Till häger med objektsvalet (andra fliken) aktiv. Klickar du på ett objekt där så infogas objektets värde dynamiskt i texten. Tredje och fjärde flikarna låter dig välja symboler och mer komplicerade matematiska strukturer som rottecken, integraler och summatecken m.m.
Nu kan du skriva vilken text du vill. Alla objekt du skapat finns under den andra fliken i de avancerade kontrollerna. Infogar du ett sådant objekt ersätts det dynamiskt med sitt värde. Det går också att infoga tomma formelfält för att göra beräkningar direkt i dialogen. Symboler, rottecken etc finns att hämta under de andra flikarna.
Precis som förut kan du sedan bestämma storlek, stil, färg, position, antal visade decimaler etc i inställningarna för texten. Här har jag använt storleken ”mellan” och gul bakgrundsfärg samt blandat sans serif med serif.
FormelText(objekt, true, true) skapar en etikett precis som om du drar objektet från algebrafönstret ut till ritområdet.
Grundpotensform(tal) skapar en text som visar ett tal skrivet i grundpotensform. Tyvärr behövs det här kommandot då GeoGebra tenderar att visa mellanstora och mellansmå tal utan varken tiopotens eller tusentalsavgränsare.
Det är ibland svårt att avkoda tal utan att använda kommandot Grundpotensform()
RationellaTalText() och RotUtrycksText() är kommandon som försöker ge exakta representationer av tal i decimalform. Här används Rotuttryckstext() för att hitta ett exakt uttryck för förhållandet mellan en regelbunden femhörnings diagonal och dess sida.
Femhörningen skapades med hjälp av polygonverktyget och då skapades punkterna och sträckan s samtidigt. Sträckan döptes om till s i efterhand.
Avancerat
Tabeller
Tabeller är bra för att organisera information. GeoGebra har kommandot TabellText(listor) för att skapa tabeller. Syntaxen är lite knepig att minnas så det finns ett onlineverktyg för att formulera kommandot som du vill ha det.
Computer Algebra System, CAS hanterar symbolisk algebra men vad kan det göra, egentligen? Och ska inte eleverna lära sig göra det här för hand?
I det här inlägget i serien GeoGebra för lärare så visar jag mina personliga favoriter i CAS. Öppna CAS-fönstret med Ctrl-Shift-K så sätter vi igång.
Fakultetsberäkningar
I CAS är alla beräkningar exakta (om du inte specifikt ber om numeriska svar) och alla siffror skrivs ut korrekt i heltal. Om du beräknar fakulteten för ett tal ≥ 22 så kommer ”vanliga” GeoGebra (algebrafönstret) att ge dig ett avrundat värde medan CAS visar alla siffror korrekt. Prova att slå in 100! i CAS får du se ett ännu tydligare exempel.
Till vänster algebrafönstret, till höger CAS-fönstret
Ekvationslösning
CAS är suveränt för att få exakta lösningar på ekvationer. Oavsett om det är linjära ekvationer vars lösningar lämpligen uttrycks i bråkform eller om det är andragradsekvationer eller rotekvationer så ger CAS de exakta värdena där det är möjligt.
Bara äkta rötter anges i rotekvationer
För att lösa en ekvation kan du antingen använda kommandot Lös(…) eller skriva in ekvationen direkt och trycka på x=-knappen. Vill du ha numeriska lösningar använder du NLös(…) eller x≈.
En av mina absoluta favoriter är att definiera en funktion f och sen skriva Lös(f’ = 0). Det kommandot spar väldigt mycket jobb då du ska hitta extrempunkter. Självklart ska eleverna kunna göra sådant för hand också, men ibland kanske det är hela problemlösningen som ska tränas snarare än algebran. Det gäller ju att göra eleverna bra främst på det som datorerna INTE klarar.
Substituera in värden i formler
I fysiken jobbar du ofta med formler. Substitutionskommandot och substitutionsknappen gör det enkelt att mata in värden på kända variabler och på så sätt få en väldigt enkel ekvation som går lätt att lösa.
Substitutionsdialogen
Här nedan ser vi dessutom exempel på hur vi refererar till tidigare rader med $1, $2 och så vidare. Det går att använda #1, #2… också men då blir referenserna inte dynamiska, det vill säga de uppdateras inte om du ändrar raden de refererar till så jag använder alltid $-tecknet.
Newtons gravitationslag används för att bestämma Jordens massa
Ändra form på uttryck
För polynom finns två huvudsakliga former: Expanderad form (normalform, summaform…) och faktorform. För andragradspolynom finns dessutom vertexform. GeoGebra har kommandon för alla dessa. Jag använder detta framför allt när jag vill visa formerna för eleverna innan de sätter sig att träna på att göra omvandlingar mellan formerna för hand. Här är en film som visar detta.
Vanlig förenkling sker till normalform = expanderad form.
Dynamisk algebra
Skapa en glidare, n, som du ställer in så att den bara antar heltalsvärden genom att sätta dess steglängd till 1 i inställningarna.
Algebraiska uttryck som beror av n ändras då dynamiskt då du ändrar värdet på n. Det här kan till exempel användas för att visa binomialregeln.
Här har vi placerat CAS-fönstret under algebrafönstret där glidaren n är definierad
Här är avslutningsvis lite filmer som visar andra aspekter av CAS:
Svenska GeoGebrainstitutet 