Etikettarkiv: Listor

GeoGebra för lärare (1), Jonas Hall, Lärare och elever

GeoGebra för lärare: Snygga felstaplar

18 november, 2022 themadmathematician Lämna en kommentar

En av de vanligaste återkommande frågorna jag får som lärare på ett naturvetenskapligt program är – förvånande eller inte:

Hur gör man felstaplar i GeoGebra?

Eleverna är vana att lägga in mätdata och göra regressioner i Geogebra, men just felstaplarna kan vara lite knepigt att få till så att det blir snyggt.

Metoderna skiljer sig kraftigt beroende på om du använder GeoGebra Classic som har ett kalkylblad eller GeoGebra Calculator Suite där du får jobba med listor istället.

GeoGebra Classic

Börja med att lägga in dina mätdata i kalkylbladet som du kan öppna med kortkommandot Ctrl-Shift-S (för spreadsheet). Lägg x-värden i kolumn A och y-värden i kolumn B. Använd en rubrikrad så att första värdet ligger på rad 2.

Du kommer också att behöva information om hur stora dina felstaplar är. Hur du tar reda på det beror på vad det är för undersökning eller experiment du har gjort men det kanske innefattar att beräkna standardavvikelsen för medelvärdet, punkt för punkt. Eller så är det bara en uppskattning av mätnoggrannheten för din metod eller instrument och det är samma värde för alla datapunkter. Oavsett vilket så behöver du dessa värden. Fyll i dem i kolumn c.

Formler i GeoGebras kalkylblad kan innehålla geometriska objekt

Det finns flera olika sätt att skapa själva datapunkterna. Den här gången gör jag det genom att i cell D2 skriva =(A2, B2). Likhetstecknet som inleder formler i kalkylprogram är frivilligt i GeoGebra. Du kan nu kopiera ned formeln genom att markera cell D2 och dra i den lilla fyrkanten i nedre högra hörnet. Då skapas de andra punkterna.

Att kopiera ned en formel: lägg märke till den lilla kvadraten i nedre högra hörnet av den markerade cellen

På samma sätt skapar du nu ytterligare två kolumner av punkter som ska representera felstapelns över- och nederkant. I E2 skriver du =(A2, B2 + C2) och i F2 skriver du =(A2, B2 – C2). Kopiera ned formlerna för båda dessa.

Det sista konstruktionselementet är själva felstapeln. I G2 skriver du =Sträcka(E2, F2) och kopierar ned formeln.

Det du nu har i ritområdet ser antagligen extremt fult ut, men frukta icke! Det enda som nu återstår att göra är att snygga upp resultatet.

Öppna egenskapsdialogen med Ctrl-Shift-E. Markera värdena i kolumn D (alltså alla punkter, men inte rubriken på rad 1). På fliken Utseende ställer du in storlek 3 och använder kryss som symbol för datapunkterna. Om det inte gick, kontrollera att du verkligen bara markerat datapunkterna och inte rubriken eller tomma celler.

Färgen på datapunkterna är lämpligen svart men du kan markera enstaka punkter och framhäva dem med någon annan färg om det finns skäl till det.

Markera sedan punkterna i kolumn E och F och på fliken Grundinställningar så avmarkerar du kryssrutan Visa objekt. Dessa punkter ska helt enkelt inte visas alls.

Objekt i kalkylbladet brukar automatiskt markeras som *hjälpobjekt*, och syns därför inte i algebrafönstret

Markera till slut felstaplarna i kolumn G. På fliken Utseende ställer du in linjetjockleken 2 och ser till att både starten och slutet på felstaplarna blir markerade med tvärstaplar.

Om det är lämpligt kompletterar du med en passande regressionsfunktion, t.ex. RegressionPotens(D2:D10). Du kan dra funktionen från algebrafönstret till ritområdet för att skapa en textetikett.

Forma ritområdet till lämplig storlek, dra axlarna till lämplig position och zooma in lagom mycket. Kopiera ritområdet med Ctrl-Shift-C och klistra in ditt färdiga diagram i din rapport.

Calculator Suite

Att göra motsvarande konstruktion i Calculator Suite som saknar kalkylblad är betydligt krångligare. Vi använder oss av listor.

Mata in x– och y-koordinaterna och felvärdena:

X = {1, 2, 3, 4, 5}
Y = {3, 5, 7, 9, 12}
F = {0.2, 0.3, 0.4, 0.4, 0.4}

Skapa punkterna:

P = (X, Y}
Q = (X, Y+F)
R = (X, Y-F)

Dölj Q och R. Det här gick någorlunda smidigt, men för att skapa staplarna krävs tyvärr en mer komplicerad process. Sträckorna skapas så här:

S = Talföljd(Sträcka(Q(n), R(n)), n, 1, Längd(P))

Kommandot Talföljd(…) fungerar här som en for-loop som skapar en sträcka i taget för alla n-värden från 1 till antalet punkter.

Det går inte heller att bara dekorera dessa sträckor så vi måste bygga tvärstaplarna själva. Vi sätter bredden på tvärstaplarna till 2d och låter d initialt ha värdet 0.1.

d = 0.1

Så gör vi en lista med dessa värden.

D = Talföljd(d, n,1,Längd(P))

Nu skapar vi hjälppunkter som sedan kan döljas.

P1 = (X – D, Y + F)
P2 = (X + D, Y + F)
P3 = (X – D, Y – F)
P4 = (X + D, Y – F)

Den övre och den undre tvärstapeln skapas nu med

topbar = Talföljd(Sträcka(P1(n), P2(n)), n, 1, Längd(P))
bbar = Talföljd(Sträcka(P3(n), P3(n)), n, 1, Längd(P))

Dölj alla punkter utom datapunkterna. Formatera datapunkterna, felstaplarna och tvärstaplarna som tidigare.

Linjetjocklek = 2
Punktstorlek = 3
Punktform = kryss.

Sätt värdet på d så att tvärstaplarna blir lagom breda.

(Personligt tips: Gör det i GeoGebra Classic.)

GeoGebra för lärare (1), Jonas Hall, Lärare och elever

GeoGebra för lärare: Att plocka ut värden och skapa hjälplinjer

14 oktober, 2022 themadmathematician Lämna en kommentar

Du vill illustrera cirkelns ekvation eller hur de trigonometriska funktionerna hänger ihop med enhetscirkeln. Du skapar en cirkel och sätter en punkt på den som du kan dra runt. Så slår det dig att det skulle vara illustrativt att rita ut en triangel i cirkeln så att hypotenusan ligger längs radien. Men hur gör du?

För att visa koordinaterna ändrar du i punktens inställningar

Vi behöver en till punkt på x-axeln, en punkt som alltid har samma x-koordinat som punkten C. Det kan vi skapa genom att skriva
(x(C), 0). funktionen x(C) plockar ut (eller beräknar om du så vill) punkten C:s x-koordinat. På samma sätt kan du få y-koordinaten genom att skriva y(C).

Triangeln kan skapas med polygonverktyget eller med kommandot Polygon()

Med punkten på plats kan du skapa triangeln. Punkt D följer snällt med när du drar i C.

Ett till exempel: Du kan skapa en rektangel genom att skapa en punkt A i origo och punkterna B och C på x-axeln och y-axeln. Genom att plocka ut x-koordinaten för B och y-koordinaten för C så kan du skapa det sista hörnet som punkten D = (x(B), y(C))

Ändra storlek på sidorna genom att dra i B och C.

Lägg märke till att punkter som är helt bestämda (som A och D) är svarta och punkter som du kan dra i (som B och C) är blåa.

Vi kan också använda begreppet plocka ut i några fler situationer. Om du gjort en regression så vill du ibland räkna vidare med de framräknade parametrarna. Hur gör du det om du vill slippa skriva om alla decimaler?

Låt oss ta ett konkret exempel. Om du joggar och vill hålla koll på din kondition och hastighet är det vanligt att arbeta med kilometertider, alltså hur lång tid det tar att springa en kilometer. Låt oss säga att du springer 8 km genom att springa fyra varv på en 2 kilometersslinga. Varje gång du passerar starten noterar du tiderna som blir 8.30, 16.45, 26.15 och 33.45. Vad blir medelhastigheten?

Vi skapar punkter och gör en regression av typen y = kx. Om du är osäker på hur du gör för att slippa konstanttermen så titta på inlägget om regressioner.

I det här diagrammet har vi sträckan i km i minuter på x-axeln och tiden på y-axeln. k-värdets enhet blir alltså minuter/km. För att förvandla den här kilometertiden till hastighet i km/h så får vi ta 60 dividerat med kilometertiden. Alltså behöver vi räkna vidare med lutningen. Hur gör vi det?

Kommandot Koefficienter(f) ger oss en lista med koefficienterna. Kommandot plockar ut koefficienterna från funktionen.

Därefter plockar vi ut första koefficienten genom listanropet l1(1). Vi passar på att ge värdet ett begripligt namn på en gång. Nu kan vi utföra beräkningen. Löparens medelhastighet är ca 14 km/h.

För att summera så kan du plocka ut värden få flera olika sätt:

Plocka ut koefficienterna från en regressionsfunktion: Om f är funktionen som vi bestämt med en regression så blir Koefficienter(f(x)) = {4.263, 0} alltså en lista med koefficienter.

Plocka ut ett element i en lista: Om l1 är listan med värden så blir l1(1) det första elementet i listan, här värdet 4.263. Om l2 är en lista med punkter som vi skapade nyss så blir l2(1) den första punkten i listan.

Plocka ut x- och y-koordinaterna för en punkt: Om A = (2, 8.5) så blir x(A) = 2 och y(A) = 8.5. De fördefinierade funktionerna x(punkt) och y(punkt) plockar ut koordinaterna för en punkt. Väldigt användbart för att lägga till element som punkter och hjälplinjer i figurer.

GeoGebra för lärare (1), Jonas Hall, Lärare och elever

GeoGebra för lärare: Listor

7 oktober, 2022 themadmathematician 2 kommentarer

En lista är i matematiken en ordnad följd av objekt. Det är ofta tal men kan precis lika gärna vara en följd av koncentriska cirklar, algebraiska termer eller punkter. I det här inlägget gör vi en djupdykning i vad du kan göra med listor i GeoGebra.

Skapa listor

Det finns flera sätt att skapa listor i GeoGebra.

Direkt inmatning med klamrar {…}

Du skapar en kort lista enklast genom att skriva in den direkt.
L = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} skapar listan L som innehåller de första 11 naturliga talen. Varje element i listan ska separeras med kommatecken och listan avgränsas med klamrar {…}. Just den här listan kan också skapas med skrivsättet L = {0..10} (2 eller fler punkter). Det fungerar bara för konsekutiva heltal.

Verktyget skapa lista

Klicka på verktyget Skapa Lista i verktygsmenyn (i Calculator Suite får du klicka på ”Flera…” längst ned) och dra upp en markeringsrektangel runt ett antal punkter, sträckor, cirklar och andra objekt så skapas en lista med dessa objekt. Det går också bra att markera objekten först och klicka på verktyget sen, men då drar du upp markeringstriangeln med höger musknapp.

I Classic ligger ”Skapa lista” i mätmenyn, i Calculator Suite bland punktverktygen

Skapa lista med punkter i kalkylbladet

Du kan mata in x- och y-koordinater i två kolumner i kalkylbladet (Classicversionerna), markera dessa värden, högerklicka och välja Skapa… Lista med punkter så skapas punkterna och en lista med punkterna. Det här är användbart om du sen ska göra någon regression på dessa data.

Hänvisa till kalkylbladet – regressioner

GeoGebra (classicversionerna) har ett kalkylblad som kan innehålla valfria objekt. I Excel kan varje cell innehålla text eller ett tal eller en formel som genererar en text eller ett tal. I GeoGebra kan varje cell innehålla även punkter, sträckor, cirklar etc. Du skapar t.ex. en punkt i kalkylbladet genom att skriva in (2, 3) i cellen.

Om du har x-värden i A-kolumnen och y-värden i B-kolumnen så kan du skapa punkter i C-kolumnen genom att i C2 skriva (A2, B2) (vi antar att rad 1 är reserverad för beskrivande rubriker). Därefter kopierar du ned formeln genom att dra i den lilla fyrkanten nere till höger i cellen. Ett område i kalkylbladet fungerar automatiskt som en lista. RegressionLin(C2:C6) kommer alltså att göra en linjär regression på de punkter som finns i cellerna C2 till C6.

Talföljd(uttryck, variabel, start, stopp, (steg))

Ett av de kraftfullaste sätten att skapa listor är med kommandot talföljd. Låt inte lura dig av namnet på kommandot – det kan skapa listor av alla typer av objekt, inte bara tal. Du kan till exempel skapa en uppsättning koncentriska cirklar med kommandot
Talföljd(Cirkel( (0,0), sqrt(100 – r^2)), r, 1, 10).

Kommandot talföljd fungerar därmed som en slags FOR-loop om vi betraktar det ur ett algoritmiskt perspektiv. Det kan utläsas som ”Beräkna uttryck då variabel går från start till stopp (med hopp om steg)”

Koncentriska cirklar som visar en uppskivning av ett klot – kanske användbart då rotationsvolymer ska förklaras.

Men självklart är kommandot väldigt användbart för att visa på likheterna arbeta med aritmetiska och geometriska (och andra) talföljder. Låt eleverna experimentera fram talföljder vars tredje term är 8 och elfte term är 35 innan de får hitta rätt uttryck algebraiskt.

Använda enskilda värden i en lista

om L = {3, 6, 12, 24, 48, 96} så är L(1) = 3 och L(5) = 48. Du kan också ”räkna baklänges” så L(-1) = 96 och L(-5) = 6.

Listor i Calculator Suite

GeoGebra Calculator Suite har inget kalkylblad men listor som skapas på andra sätt fungerar precis som i GeoGebra Classic.

Det finns dessutom en tabell där du kan mata in värden. Värdena i kolumnerna går att arbeta med som om de vore vanliga listor men listan som ser ut att heta bara ”x” heter egentligen x₁ (skrivs x_1). Dessa listor kan du kan inte döpa om och de kan bara visas i tabellen om de först skapats där.

Calculator Suite visar punkter automatiskt

Fler saker du kan göra med listor

Tvåpotenser och kvadrater etc

Om X = {0..10} så kommer 2^X att skapa en lista med tvåpotenser och X^2 att skapa en lista med kvadrater.

Tabeller

Om V = Talföljd(a, a, 0, 360, 15) så kommer sin(V°) att ge tabellvärden för sin (0°), sin(15°), sin(30°)… sin(360°). Det är dock kanske mer meningsfullt att göra detta i kalkylbladet.

Funktioner som punktmängder

Skapa X = {-8..8} och L = 0.5X – 2. (X, L) ger nu 17 punkter. Det ger en bild av funktionen y = 0.5x – 2 som är baserad bara på ett fåtal punkter vilket kan vara användbart för att befästa idén att en linje är en mängd av punkter.

Om du i stället skapar n = 0 och X = Talföljd(a, a, -8, 8, 10^(-n)) kan du variera antalet punkter genom att variera värdet på glidaren n mellan ca 0 och 2.

Räta linjer med olika k-värden

Om m är en glidare (skapa genom att skriva t.ex. m = 2) så kommer Talföljd(k x + m, k, -4, 4, 0.5) att generera räta linjer vars k-värden går från -4 till 4.

Simuleringar med slumptal

Du kan skapa 100 slumpvisa punkter med kommandot Talföljd((SlumpFördelning(-5, 5), SlumpFördelning(-5, 5)), j, 1, 50). Här är variabeln j en dummyvariabel som inte används i beräkningen. Tryck på F9-tangenten på tangentbordet för att uppdatera slumpberäkningarna och få 100 nya punkter. Det här är ett användbart sätt att börja bygga simuleringar. Det går givetvis lika bra att lägga slumpkommandot i 50 rader i kalkylbladet men ska du göra 1000 punkter är nog kalkylbladet inte längre lika smidigt. Här finns länkar till de olika slumpkommandon som finns i GeoGebra på engelska. Alla slumptaskommandon börjar på ”Slump…” så skriv det inne i GeoGebra så hittar du de olika kommandona.

Simulera tärningar

SlumpElement(L) levererar att slumpvis element ur listan L. Som alla slumpkommandon så kan det vara bra för simuleringar av olika sannolikhetssituationer. Här är en sån: Du har tre tärningar som är märkta 116688, 224499 och 335577. Vilken tärning är ”bäst”? Svaret är förvånande. Läs mer här och här.

Vi kan simulera detta genom att först skapa listor som representerar tärningarna. T1 = {1, 1, 6, 6, 8, 8} etc.

100 kast med T1 kan simuleras med kommandot
T100 = Talföljd(SlumpElement(T1), j, 1, 100)
100 kast med T1 och T2 kan simuleras med kommandot T12=Talföljd(Om(SlumpElement(T1) > SlumpElement(T2), 1, 2), j, 1, 100). Den resulterande listan innehåller 1:or och 2:or beroende på vilken tärning som vann kastet. Beräknar vi medel(T12) kan vi se att T1 verkar vinna över T2. På samma sätt vinner T2 och T3 men T3 vinner över T1. Du kan alltså (i längden) vinna över andra genom att be dem välja tärning först.

Ännu fler saker du kan göra med listor

Fler kommandon

Element(L, n) är ett kommando som gör samma sak som L(n), alltså plockar ut det n:e elementet ur L.

I enstaka fall kan element bli odefinierade, t.ex. vid lösning av andragradsekvationer. Kommandot TaBortOdefinierat(L) rensar bort sådana värden så att medelvärden etc kan beräknas på de kvarvarande värdena.

UnikaElement(L) skapar en lista som bara innehåller en instans av varje element och kan alltså liknas vis att konvertera en lista till en mängd.

Egna axelmarkeringar (och axlar)

Om dx och dy är glidare så kommer listan
E = Talföljd(Text(”↓”, (j + dx, dy)), j, -10, 10, 1) att skapa egna axelmarkörer. Glidarna dx och dy justerar positionen på markörerna (men zoomar du behöver du justera om).