GeoGebra för lärare: Glidare

Under den här rubriken kommer jag att samla inlägg som är tänkta som instruktioner för lärare. Först ut är glidarna.

Glidare representerar nog själva sinnebilden av allt vad dynamisk geometri innebär. Att kunna ändra ett värde genom att dra i en punkt på en liten tallinje och därigenom se former och kurvor förändras och intuitivt få leka sig fram till kunskap.

En glidares egenskaper

En glidare är en grafisk representation av ett tal. Jag skriver tal för ibland representerar det en parameter men i andra sammanhang en variabel. Representationen sker oftast i form av en punkt som kan glida på en kort sträcka men i princip kan ju punkten glida på vilken kurva som helst. I glidarens egenskaper kan du ställa in framför allt minimi-, maximi- och steglängdsvärden. Du kan också direkt sätta ett värde genom att tilldela värdet till talet i inmatningsfältet.

En finess som få vet om är att du med Shift-, Ctrl– och Alt-tangenterna kan reglera hur stor steglängden är när du ändrar värden med piltangenterna. Shift-Pil gör att steglängden tillfälligt blir en tiondel av den angivna. Om steglängden från början är 0,5 så att värdena hoppar som 3 → 3,5 → 4 → 4,5… så kommer värdena i stället att hoppa 3 → 3, 05 → 3,1 → 3,15… med Shift nedtryckt.

Ctrl-tangenten gör steglängden tillfälligt 10 gånger större och med
Alt-tangenten hoppar du hela 100 gånger längre steg än vanligt. Du kan givetvis ändra grundinställningen på steglängden direkt i inställningarna för talet/glidaren. 

Glidare är både lättfattliga, intuitiva och flexibla. Du kan introducera grafen till den räta linjen genom att be eleverna skriva in y = k x + m, med mellanslag mellan k och x, och be dem undersöka kvalitativt vad som händer när de drar i glidarna. Nästa steg är att eleverna kvantitativt kopplar ihop värdet på glidaren med värdet på något de ser i grafen. Därefter kan du sammanfatta klassens upptäckter och formalisera resultaten.

Några andra begrepp som intimt hänger samman med glidare är animering, spår och dynamisk färg.

Animering innebär att talets värde ändras kontinuerligt. Animerar vi
k-värdet på räta linjen så kommer linjen att svänga runt skärningspunkten med y-axeln som en liten film. Du animerar en glidare genom att trycka på ”play”-symbolen nere till höger i algebrafältet i version Classic 6 (= onlineversionen).

I Classic 5 högerklickar du och väljer Animering på. I Classic 5 kan du dessutom exportera animerade GIF-filer som den här. I GeoGebra 6 får du använda kommandot ExporteraBild().

Spår, eller att ”sätta på spåret” innebär att en punkt, kurva eller figur lämnar ett spår efter sig när det byter plats eller utseende så att vi får en slags samlad bild av utseendet för olika värden på talet.

Dynamiska färger innebär att vi kan styra färgen hos ett föremål med ett tal, till exempel en animerad glidare.

Låt oss ta ett exempel. Vi skriver in f(x) = a x2 + b x + c (”f(x) =” behöver inte skrivas in). Vi får automatiskt glidare för våra parametrar a, b, och c och funktionen ritas ut. Högerklicka på funktionen → Inställningar → fliken Avancerat. Under Dynamiska färger fyller du i Röd: b/5 Grön: 1 – b/5 Blå: 0. Sedan animerar du glidaren b. Grafen flyttar sig och växlar nu färg mellan grönt och rött beroende på värdet på b.

Färgvärdena räknas ”mellan 0 och1” dvs färgen går från ingen färg
= 0 till maximal färg = 1 och värden utanför det här intervallet speglas in i det. Det här kan vara en metod för att förstärka ett begrepp du vill framhäva.

Om du nu dessutom kopplar på spåret på funktionen så får du en fascinerande bild som växer fram. Det gäller att påpeka vad det är du vill att eleverna ska lära sig så de inte glömmer bort det medan de låter sig hypnotiseras av skådespelet.

Om du tar fram vertexpunkten för f(x) med kommandot Extrempunkt(f) och därefter sätter på spåret på den kommer du att se hur den följer en annan andragradsfunktion i sin bana, nämligen g(x) = -a x2 + c. Att bevisa detta algebraiskt kan vara en intressant övning.

Du har aldrig sett en andragradsfunktion förrän du sett den så här.

Om du vill bygga egna färdiga konstruktioner så kanske du är intresserad av att skapa finesser såsom logaritmiska/exponentiella glidare, kaskadkopplade glidare för grov- och finjustering eller där ena glidaren kontrollerar den andras maxvärde och steglängd eller glidare som bara tar vissa värden som du specificerat i en lista. Det sista kan vara användbart om du t.ex. vill visa 1, 1.96, 2 och 3 standardavvikelser. Alla dessa är exempel på ”byggarknep” som är samlade i en GeoGebrabok som heter Builders Handbook.

Möjligheterna är kanske inte oändliga, men väldigt många.

Digitala verktyg i undervisningen

Det är veckan efter de nationella proven och i Facebookgruppen Matematikundervisning är det fullt av inlägg om svårighetsgrad, innehåll och tolkningar.

En del inlägg handlar om vad som uppfattas vara ett ökat fokus på användandet av digitala verktyg och låt mig börja med att konstatera att det givetvis har skett en förändring av det centrala innehållet över tid. Olika ämnesområden har försvunnit och andra har lagts till. Under de sista 50 åren har verktyg kommit och gått. Vi använder (väl?) inte räknestickor längre och de första miniräknarna har utvecklats först till funktionsräknare, därefter till grafräknare. Verktygens medium har också förändrats, från analoga verktyg, till dedikerade elektroniska handhållna enheter till internetuppkopplade plattor och datorer med tillgång till kraftfulla matematikverktyg.

Samhället och tekniken förändras och undervisningen med dem. I språkundervisningen har fokus för länge sedan flyttats från korrekt grammatik till effektiv kommunikation, i de samhällsvetenskapliga ämnena ser vi en förskjutning från fakta till processer, perspektiv och källkritik och inom naturvetenskapen har teori och experiment kompletterats med simuleringar och videoanalyser.   

Det har alltid funnits diskussioner kring nya verktygs vara eller icke vara, se till exempel debatten om miniräknarnas vara eller inte vara i slutet av förra seklet. Nu upplever vi bitar av samma diskussion men med siktet inställt på de kraftiga verktyg som gjorts tillgängliga de senaste 10-15 åren, framförallt GeoGebra, Desmos, Octave och Python (det är lite intressant att ingen verkar klaga på Excel som varit tillgängligt mycket längre).

Argumenten mot dessa verktyg verkar i huvudsak falla in under ett fåtal rubriker:

  1. Det tar tid att lära ut dessa verktyg så eleverna (särskilt de svaga) får mindre tid att lära sig det de behöver kunna.
  2. Att lära ut hur verktyg fungerar är inte matematik. Dessutom är det kontraproduktivt, för på högskolan får de inte använda verktyg.
  3. Eleverna kan få godkända resultat på NP bara genom att klicka på knappar (och det är orättvist).

Alla dessa argument lider av ett synsätt som särskiljer kunskaper i matematik från kunskaper om hur man använder matematikverktyg. Jag vill på en gång påpeka att det är ett förståeligt synsätt för de som gått in i yrket med inställningen att de ska lära ut matematik och sedan sett fokuset på digitala verktyg gradvis öka, men – och det här är min huvudsakliga tes – det synsättet behöver upphöra.

Matematikkunskaper och kunskaper om hur du hanterar verktyg för att lösa problem i matematik går hand i hand och undervisningen måste också integrera dessa olika delar till en helhet. Här stöttar jag mig på det som kallas för TPACK-modellen från 2006: Technological, Pedagogical And Content Knowledge. I korthet går modellen ut på att alla dessa tre typer av kunskaper behöver integreras till en helhet för att få en effektiv undervisning.

Technological knowledge, alltså kunskaper om hur du hanterar de matematiska, verktygen behöver integreras både med den pedagogiska kunskapen och det centrala innehållet. Det innebär i praktiken att dels ska verktygen användas av eleverna för att göra det de kan göra: rita grafer, lösa ekvationer, beräkna sannolikheter etc. och dels ska de användas som en integrerad del av din undervisning för att visa på samband, visualisera begrepp och klargöra strukturer m.m.

Och här kommer till en viss kollegial kritik. För jag tror tyvärr att lärarkåren till stor del inte är van vid den här typen av integrering av tekniska kunskaper i undervisningen. Då miniräknarna gjorde sin entré i skolan, hur många var det då som aktivt utnyttjade det nya verktygets pedagogiska möjligheter till att visa decimalutvecklingar, talföljder, samband etc kontra att bara låta eleverna använda miniräknarna?  

Och när de grafräknande räknarna dök upp, hur många lärare skaffade faktiskt OH-plattor eller simulatorer för att demonstrera deras olika funktioner? Hur många gick längre än att visa hur eleverna skulle rita grafer och hitta skärningspunkter? Jag har tyvärr träffat väldigt många elever som vittnar om att de inte fått någon undervisning alls i hur de skulle använda sina räknare effektivt. De tilläts använda dem, men det var allt. Här skulle lärarkåren kunnat göra betydligt mer.

Det ett faktum att Skolverket sedan många år tryckt på användning och undervisning om digitala verktyg. Tyvärr har de inte namngivit dessa och en del lärare har då lutat sig tillbaka och tänkt att ”räknare duger”. Nu, efter vårens nationella prov vecka börjar en del vakna upp men jag har redan hört kollegor som konstaterat att provet för Ma1 inte krävde detta och att de därför inte ser vitsen med att använda annat än räknare där.

Låt mig därför påminna om följande skrivelse från Skolverkets hemsida under matematikämnets syfte:

I undervisningen ska eleverna dessutom ges möjlighet att utveckla sin förmåga att använda digitala verktyg för att lösa problem samt fördjupa sitt matematikkunnande och utvidga de områden där matematikkunnandet kan användas.

Detta gäller alltså oavsett kurs. Om du inte ger dem denna möjlighet begår du alltså tekniskt sett tjänstefel. Anledningen till att det ser olika ut på olika årskurser på NP är att det är olika instanser som konstruerar dem. Umeå Universitet som konstruerar proven för de högre årskurserna har varit tydligare än Primgruppen som konstruerar proven för åk 1.

Nog med kritik. Hur åtgärdar vi problemet med att en del (många?) lärare inte undervisar med och om digitala verktyg? Den här stora gruppen behöver all stöttning den kan få. När det gäller GeoGebra finns en resursmapp med grundläggande instruktioner och länkar för vidare självstudier, en begynnande svensk videolista samt en FB-grupp för support. Du som känner att du är någorlunda bekväm med ett verktyg kan erbjuda support till dina kollegor.  Om du läser detta kan du sprida informationen till dina kollegor som inte ser den.

Skolverket har haft workshops kring programmering. Kanske skulle de också ha workshops kring GeoGebra?

Och till er som tycker det verkar vara övermäktigt: GeoGebra är tillsammans med Word och Excel vad jag kallar för ”bottenlösa” program. De går inte att lära sig till fullo på en vecka eller ens flera år. Du möts av en blank sida utan någon hjälp om hur du går vidare. Men det går att lära sig lite och komma igång. Du måste inte veta hur du radbryter text runt bilder eller gör massutskick för att kunna skriva en läslig text i Word och du behöver inte veta hur du gör Z-tester eller uttrycker kubiska grafer för att kunna lösa ett ekvationssystem i GeoGebra.

Det viktiga är att du börjar. Bara genom att förändras i takt med världen kan vi gå mot framtiden.

Vi ses väl i höst?

I höst går den 11:e Nordisk-Baltiska GeoGebrakonferensen igång i Helsingfors. Under en helg gör vi studiebesök, lyssnar på föredrag och umgås. Kom och träffa aktiva GeoGebraanvändare från Sverige och övriga regionen. Lyssna på Markus Hohenwarter som startade allt. Knyt kontakter.

Kom! Det blir kul!

Enhancing students mathematical thinking

Thomas Lingefjärd och Jonaki Ghosh har skrivit en artikel som kommer att publiceras på https://www.mathsciteacher.com/ inom kort. Författarna har i en begränsad studie undersökt hur några elever i årskurs 2 och årskurs 6 har arbetat med för dem utmanande geometriproblem i GeoGebrakonstruktioner. Här konstateras (igen) att GeoGebra kan fungera som förstärkare och en reorganiserande faktor för elevernas tänkande.

Elevinteraktionerna är dokumenterade i två korta filmer, en för årskurs 2 och en för årskurs 6. Motsvarande konstruktioner kan hittas här och här. Även om elevinteraktionerna skedde under 2015 så är artikeln nyskriven.

Det är också ett exempel på att en relativt enkla undersökningar lokalt på en skola kan resultera i vetenskapliga artiklar och vara en ingång till att beforska sin praktik.

Changelog

GeoGebra Classic 6.0 passerade just uppdatering nummer 700 och dess officiella versionsnummer är nu 6.0.703.0 vilket syns i menyn, under Hjälp och feedback.

För varje ny uppdatering uppdateras också den sida som kallas Reference: Changelog 6.0 Trots namnet sammanfattar sidan även förändringar i Classic 5 och GeoGebra Calculator Suite. Där samlas de viktigaste förändringarna så att användare kan hålla koll på vad som är nytt. I uppdatering 703 så har man till exempel fixat ett problem som en av mina elever upptäckte när vi höll på med att lösa differentialekvationer i Ma5: konstanterna c_1 etc återställdes till defaultvärden när andra glidare justerades. Det ska nu vara fixat.

Mycket kraft går åt för att få GeoGebra fullvärdigt på mobiler. Det kommer dock i GeoGebra Calculator Suite inte att finnas ett fullständigt kalkylblad, däremot finns redan nu värdetabeller i stället. Och vi väntar fortfarande på sannolikhetskalkylatorn. GeoGebra Calculator Suite är numera den officiella online-versionen som körs direkt från geogebra.org.

Gå gärna in på Reference: Changelog 6.0 då och då.

Ny bok

Thomas Lingefjärd, som tidigare tillsammans med Jonas Hall gett ut ”GeoGebrahandboken” är aktuell med en ny bok där GeoGebra är en av komponenterna. Den här gången är det en introduktion till matematik och statistik från ett digitalt perspektiv. Boken beräknas utkomma i augusti 2022.

GeoGebrahandboken skrevs 2015 och översattes 2016 till engelska. De är baserade på GeoGebra Classic 5 men fungerar fortfarande väl för att se hur GeoGebra kan användas i gymnasieundervisningen.

Resursmapp för GeoGebra

Jag tror pandemin slog hårt på oss alla. Jag kan konstatera att den här sidan blivit hårt lidande men nu är arbetet igång igen. Efter Matematikbiennalen så har jag, Jonas Hall, inlett ett samarbete med Mattecentrum och nu har jag också ordnat drygt 10 års dokument och blandade GeoGebraresurser till en resursmapp i Dropbox.

Så vad är en resursmapp? Jag vill definiera det som en delad mapp vars innehåll är välorganiserat och delat med andra användare. Den ska kunna gå att leta i och du ska kunna hitta användbara resurser i den. Jag har under flera år nu organiserat mina filer på det sättet så att jag har resursmappar för Ma1, Ma2, Ma3, Ma4, Ma5, Fy1, Astronomi och nu även GeoGebra.

Grundläggande instruktioner finns i huvudmappen och sedan är det bara att börja leta efter mer. Missa inte undermappen med länkar eller instruktionerna från Visuell Matematik (Svetlana Yushmanova och Anders Karlsson).

Med det här hoppas jag att det ska bli lättare att nå ut till både kollegor och elever.

Samarbete med Mattecentrum

Mattecentrum som driver mattecentrum.se, matteboken.se och pluggakuten.se organiserar på frivillig basis helt gratis matematikstöd i räknestugor runtom i landet och digitalt. De är organiserade i lokalföreningar och jag, Jonas Hall, har fått äran att bli invald i lokalföreningen Stockholms styrelse. Min förhoppning är att jag ska kunna bidra med mina kunskaper om GeoGebra och andra digitala verktyg så att volontärer på räknestugor får fortbildning om det. Jag hoppas även att kunna bidra positivt till matteboken.se som just nu håller på att uppgradera innehållet, både med fler exempel och med avsnitt om digitala hjälpmedel.

Som ett första steg har jag börjat producera en del grundläggande introduktionsvideos för GeoGebra som du kan hitta i den här spellistan. Det finns inte så mycket där ännu men tanken är att det ska bli mer under året som kommer.

Det är nu alldeles strax dags för det stora konventet i Blå hallen i Stadshuset, tisdagen 3 maj. Om du inte redan gjort det så tipsa dina elever om det.

Matematikbiennalen 2022

Så roligt att vara på Matematikbiennalen i Växjö och få träffa alla fysiskt igen. Biennalerna 2020 och 2022 kom att inrama pandemin och det känns nu som om i alla fall den farsoten är över för den här gången.

Det var många föredrag där GeoGebra figurerade, antingen lite grand eller som huvudfokus. Mattias Ahlén från Nacka gymnasium hade det avslutande passet om GeoGebra – en tillgång i undervisningen men har var definitivt inte ensam som pratade om verktyget och dess möjligheter.

Carl-Magnus Häggström pratade om hur bra redovisningar ska se ut när eleven haft digitala hjälpmedel. Jonas Hall visade hur han arbetar med GeoGebra och differentialekvationer i Ma5. Mats Brunström ville vända på uppgifterna och använda GeoGebra för att utnyttja elevernas kreativitet. Kerstin Glimmerfors talade om grafernas abcd och hur grafer transformeras. Svetlana Yushmanova, Anders Karlsson och Igor Yushmanov tog upp hur GeoGebra kan användas utanför klassrummet, t.ex. i forskning och hemsnickeri.

Dokumentation från de flesta presentationer finna att hämta i programmet för biennalen. Här är en direktlänk till Jonas Halls presentation om differentialekvationer i Ma5.