Vi börjar med ett enkelt exempel: Mata in följande, på var sin rad, följt av ENTER:
k = 2 m = 3 f(x) = k x + m (observera mellanslaget mellan k och x)
Högerklicka på linjen och välj Visa etikett. Ställ in vad etiketten ska visa genom att gå in i linjens inställningar. Välj att visa Namn och värde.
Den här etiketten har tydliga begränsningar. Du kan inte placera den var du vill eller formatera den hur du vill. För att kunna göra det skapar vi en mer flexibel etikett genom att dra linjens algebraiska representation i algebrafönstret ut till ritområdet och släppa den där. Då skapas en separat dynamisk text som har egna inställningsmöjligheter. Du kan placera den på en fast punkt i fönstret (oavsett hur du zoomar) eller låsa den vid en namngiven punkt eller valfri koordinat. Du kan ändra storlek, stil och färg och om du uppdaterar funktionen f så uppdateras texten.
Dynamisk text
För att skriva helt egna dynamiska texter klickar vi på verktygetInfoga text
Till vänster Calculator Suite, till höger Classic
och sedan i ritområdet där vi vill ha texten (du kan finjustera positionen senare). Då öppnas dialogrutanInfoga text.
Dialogrutan Infoga text med de avancerade kontrollerna nedfällda. Till vänster med förhandsvisningen (första fliken) aktiv. Till häger med objektsvalet (andra fliken) aktiv. Klickar du på ett objekt där så infogas objektets värde dynamiskt i texten. Tredje och fjärde flikarna låter dig välja symboler och mer komplicerade matematiska strukturer som rottecken, integraler och summatecken m.m.
Nu kan du skriva vilken text du vill. Alla objekt du skapat finns under den andra fliken i de avancerade kontrollerna. Infogar du ett sådant objekt ersätts det dynamiskt med sitt värde. Det går också att infoga tomma formelfält för att göra beräkningar direkt i dialogen. Symboler, rottecken etc finns att hämta under de andra flikarna.
Precis som förut kan du sedan bestämma storlek, stil, färg, position, antal visade decimaler etc i inställningarna för texten. Här har jag använt storleken ”mellan” och gul bakgrundsfärg samt blandat sans serif med serif.
FormelText(objekt, true, true) skapar en etikett precis som om du drar objektet från algebrafönstret ut till ritområdet.
Grundpotensform(tal) skapar en text som visar ett tal skrivet i grundpotensform. Tyvärr behövs det här kommandot då GeoGebra tenderar att visa mellanstora och mellansmå tal utan varken tiopotens eller tusentalsavgränsare.
Det är ibland svårt att avkoda tal utan att använda kommandot Grundpotensform()
RationellaTalText() och RotUtrycksText() är kommandon som försöker ge exakta representationer av tal i decimalform. Här används Rotuttryckstext() för att hitta ett exakt uttryck för förhållandet mellan en regelbunden femhörnings diagonal och dess sida.
Femhörningen skapades med hjälp av polygonverktyget och då skapades punkterna och sträckan s samtidigt. Sträckan döptes om till s i efterhand.
Avancerat
Tabeller
Tabeller är bra för att organisera information. GeoGebra har kommandot TabellText(listor) för att skapa tabeller. Syntaxen är lite knepig att minnas så det finns ett onlineverktyg för att formulera kommandot som du vill ha det.
Computer Algebra System, CAS hanterar symbolisk algebra men vad kan det göra, egentligen? Och ska inte eleverna lära sig göra det här för hand?
I det här inlägget i serien GeoGebra för lärare så visar jag mina personliga favoriter i CAS. Öppna CAS-fönstret med Ctrl-Shift-K så sätter vi igång.
Fakultetsberäkningar
I CAS är alla beräkningar exakta (om du inte specifikt ber om numeriska svar) och alla siffror skrivs ut korrekt i heltal. Om du beräknar fakulteten för ett tal ≥ 22 så kommer ”vanliga” GeoGebra (algebrafönstret) att ge dig ett avrundat värde medan CAS visar alla siffror korrekt. Prova att slå in 100! i CAS får du se ett ännu tydligare exempel.
Till vänster algebrafönstret, till höger CAS-fönstret
Ekvationslösning
CAS är suveränt för att få exakta lösningar på ekvationer. Oavsett om det är linjära ekvationer vars lösningar lämpligen uttrycks i bråkform eller om det är andragradsekvationer eller rotekvationer så ger CAS de exakta värdena där det är möjligt.
Bara äkta rötter anges i rotekvationer
För att lösa en ekvation kan du antingen använda kommandot Lös(…) eller skriva in ekvationen direkt och trycka på x=-knappen. Vill du ha numeriska lösningar använder du NLös(…) eller x≈.
En av mina absoluta favoriter är att definiera en funktion f och sen skriva Lös(f’ = 0). Det kommandot spar väldigt mycket jobb då du ska hitta extrempunkter. Självklart ska eleverna kunna göra sådant för hand också, men ibland kanske det är hela problemlösningen som ska tränas snarare än algebran. Det gäller ju att göra eleverna bra främst på det som datorerna INTE klarar.
Substituera in värden i formler
I fysiken jobbar du ofta med formler. Substitutionskommandot och substitutionsknappen gör det enkelt att mata in värden på kända variabler och på så sätt få en väldigt enkel ekvation som går lätt att lösa.
Substitutionsdialogen
Här nedan ser vi dessutom exempel på hur vi refererar till tidigare rader med $1, $2 och så vidare. Det går att använda #1, #2… också men då blir referenserna inte dynamiska, det vill säga de uppdateras inte om du ändrar raden de refererar till så jag använder alltid $-tecknet.
Newtons gravitationslag används för att bestämma Jordens massa
Ändra form på uttryck
För polynom finns två huvudsakliga former: Expanderad form (normalform, summaform…) och faktorform. För andragradspolynom finns dessutom vertexform. GeoGebra har kommandon för alla dessa. Jag använder detta framför allt när jag vill visa formerna för eleverna innan de sätter sig att träna på att göra omvandlingar mellan formerna för hand. Här är en film som visar detta.
Vanlig förenkling sker till normalform = expanderad form.
Dynamisk algebra
Skapa en glidare, n, som du ställer in så att den bara antar heltalsvärden genom att sätta dess steglängd till 1 i inställningarna.
Algebraiska uttryck som beror av n ändras då dynamiskt då du ändrar värdet på n. Det här kan till exempel användas för att visa binomialregeln.
Här har vi placerat CAS-fönstret under algebrafönstret där glidaren n är definierad
Här är avslutningsvis lite filmer som visar andra aspekter av CAS:
I och med datorernas intåg har nu sedan några år tillbaka begreppet regression med alla dess tillhörande procedurer letat sig in i matematikkurserna. Jag brukar personligen ta upp det redan i Ma1c som ”problemlösningsknep” på uppgifter av typen ”Vilken funktion går genom dessa båda punkter…”. Mer formellt introduceras ”Begreppen regressionsanalys och korrelationskoefficient. Digitala metoder för regressionsanalys” sedan i Ma2, där vi anpassar koefficienterna i en målfunktion med hjälp av minsta kvadratmetoden. I Ma3 och Ma4 utgår författarna till de nationella proven från att eleverna kan anpassa en godtycklig standardfunktion till mätpunkter. På (långt) högre nivå finns det alternativ till minsta kvadratmetoden, men låt oss än så länge hålla oss på gymnasienivå och vad vi kan göra med GeoGebra.
Regressionsanalys är alltså en metod för att anpassa en funktion till en mängd datapunkter. Då jag började på universitetet 1982 gjorde vi detta genom att dra en rät linje med penna och linjal längs våra datapunkter som vi noggrant markerat på millimeterrutat papper (ibland med logaritmiska axlar).
Det fanns till och med speciella linjaler för detta ändamål
Jag minns också hur stolt jag var när jag en gång härledde de teoretiska uttrycken för att beräkna parametrarna i en anpassad kvadratisk funktion teoretiskt med hjälp av linjär algebra. Lite senare i kurserna dök det upp datorbaserade metoder i Minitab, ett kolumnbaserat program som skapades 1972 och fortfarande är vid god hälsa.
Från vår verklighet (de empiriska datapunkterna) så skapar vi alltså en matematisk modell (funktionen). Den modell vi får fram är i någon mening ”den bästa” modell vi kan använda av den givna typen.
Den sista anmärkningen om ”i någon mening” är viktig. Det är bättre att använda en funktionstyp som stämmer med den underliggande teorin än att ta en godtycklig funktion som ”stämmer bäst”. Om det finns teoretiska skäl att en linjär funktion borde vara en bra funktion till dina 10 datapunkter så försök inte anpassa ett polynom av 9:e graden. Visst, det går perfekt genom alla dina datapunkter, men har ungefär noll prediktionsvärde eftersom det tenderar att svänga kraftigt och oförutsägbart.
Polynom av hög grad är dåliga på att förutsäga vad som händer utanför dina data
Skapa en lista med punkter
I GeoGebra kan du skapa punkterna på i huvudsak två olika sätt.
Antingen matar du in punkterna en och en, i koordinatform, till exempel som (2.3, 19.2). Därefter använder du verktygetSkapa lista och klickar och drar upp en rektangel runt punkterna vilket skapar listan. Listan heter i de flesta fall l1 (ett gement L följt av en etta).
Eller så matar du in x– och y-koordinaterna i kalkylbladet. Du visar kalkylbladet antingen med kortkommandot Ctrl-Shift-S eller från Visa-menyn. Markera sedan alla numeriska värden (alltså inte eventuella rubriker), högerklicka och välj Skapa… -> Lista med punkter.
I onlineversionen av GeoGebra (= Calculator Suite) finns inget regelrätt kalkylblad, men där finns tabeller istället som fungerar på liknande sätt bortsett från att punkterna visas automatiskt. Du får dock använda Skapa lista för att få listan.
Observera dock att verktyget Skapa lista inte syns i Calculator Suite förrän du klickar på Mer verktyg i botten av verktygslistan. Då finns verktyget under Punktverktygen.
Standardregressioner
GeoGebra har ett stort antal standardregressioner att välja mellan. Linjära funktioner y = kx + m, exponentialfunktioner y = C ax eller y = C ekx, potensfunktioner y = C xa, polynom av olika grad, logistiska, trigonometriska och andra funktioner.
Du kommer åt alla dessa genom att skiva kommandon av typen RegressionLin(l1), RegressionExp(l1) eller RegressionPoly(l1, 3). I det sista exemplet skapas ett tredjegradspolynom. En lista på alla tillgängliga kommandon får du när du börjar skriva Regre….
I Classicversionerna kan du också använda verktyget Tvåvariabels regressionsanalys som ger dig ett eget fönster där du snabbt kan prova olika standardregressioner för att se vilken som passar bäst.
Generella regressioner
Det finns dock situationer där standardfunktionerna inte räcker till. Exempelvis finns det gott om fysiklaborationer där du vill anpassa en rät linje direkt genom origo, alltså en funktion av typen y = kx.
I GeoGebra kan du då göra en regression där du själv anger typen av funktion som ska användas. Du använder då kommandot Regression(…) på något av de två möjliga sätten som beskrivs nedan.
Om funktionen kan delas upp i separata termer där parametrarna som ska anpassas bara är multiplikativa konstanter kan du ange dessa funktioner i en lista:
Regression(l1, {x}) ger en funktion av typen y = kx (y = ax)
Regression(l1, {1, x2}) ger en funktion av typen y = a + bx2
Regression(l1, {2x, x2}) ger en funktion av typen y = a2x + bx2
Att tvinga en rät linje genom origo kan förändra k-värdet en hel del
Om funktionen inte kan delas upp på det sättet, eller om parametrarna inte bara är multiplikativa konstanter så behöver du först definiera din modellfunktion tydligt med hjälp av glidare:
Definiera till exempel funktionen m(x) = c ax + b där a, b och c är oanvända bokstäver. Dessa kommer då att tolkas som glidare. I Classic 5 får du bekräfta detta i en popup-fönster. Du måste inte använda namnet m på funktionen men jag brukar göra det för att påminna mig om att det är min modellfunktion. m(x) ser troligen inte alls ut som något som passar dina datapunkter. Det är för att parametrarnas startvärden är långt ifrån rätt inställda. Vi ignorerar detta för tillfället och om du vill går det bra att dölja m(x). Den är bara till för att GeoGebra ska veta vad vi vill ha i nästa steg. Den här funktionstypen är för övrigt användbar då du undersöker avsvalning mot en rumstemperatur som är skild från noll.
Skriv sedan kommandot Regression(l1, m). Om allt går väl har nu GeoGebra skapat en funktion till dina datapunkter i listan l1 av typen m.
Det kan inträffa (särskilt för mer komplicerade funktioner och trigonometriska funktioner) att algoritmen som jobbar i bakgrunden misslyckas med att hitta en bra funktion. Då får du visa funktionen m(x) igen och ändra glidarna så att modellfunktionen åtminstone påminner om det du är ute efter. Dessa glidarvärden är startvärdena för algoritmen och bra startvärden kan få den att producera ett bättre resultat. För trigonometriska funktioner är parametern som styr frekvensen särskilt känslig.
Koefficienterna
Om du ska räkna vidare med koefficienterna, som ofta är fallet i fysiklaborationer, så kan det vara bra att känna till kommandot Koefficienter(f). Det genererar en lista med de anpassade parametrarna till funktionen f som kan vara antingen en regressionsfunktion, ett polynom eller ett kägelsnitt. Observera att dessa inte är i bokstavsordning i listan. Vill du använda en särskild parameter kan du döpa den genom att skriva t.ex. T0 = l2(1) (det vill säga det första elementet i listan l2).
Felgränser då?
Det skull vara fint att kunna ange felgränser för de beräknade parametrarna. Tyvärr finns inte denna funktion i GeoGebra men jag kommer i ett framtida inlägg beskriva hur du kan göra med hjälp av så kallad jackknife resampling eller genom att använda Python.
I det här inlägget tittar vi på ett bortglömt kommando som låter dig rita en graf långsamt.
Att rita en graf ”för hand” (troligen använder du ju ändå en räknare, eller hur) låter eleven få se hur grafen växer fram. Det här momentet försvinner ju med moderna digitala hjälpmedel. Eller gör det det?
I funktionsinspektören (Classicversionerna) kan du göra värdetabeller
För själva ritandet finns det till stora delar bortglömda kommandot RitaLångsamt( <funktion> ). Vad kommandot gör är att det kopplar en animerad glidare till funktionen som då ritas ut bit för bit. Du kan styra hastigheten hos glidaren och pausa den när du vill.
I Calculator Suite kan du för funktionen välja Speciella punkter i menyn. Då ritas skärningspunkterna med axlarna samt extrempunkterna ut. I Classicversionerna får du själv skriva in kommandona Extrempunkt(f), Rot(f) eller Rötter(f) samt Skärning(f, yAxeln) för att få fram samma punkter.
Genom att på det här sättet dels visa eleverna hur funktionsdefinitionen leder till värden i tabellen som blir till punkter i grafen som sammanbinds till en funktion behöver ofta upprepas för varje ny funktionstyp som eleverna stöter på. En första introduktion vid räta linjens ekvation följs sen upp med en liknande demonstration då exponentialfunktioner introduceras och sedan i Ma2 för kvadratiska funktioner och i Ma3 polynom av högre grad. Det gör att eleverna bibehåller kopplingen mellan de konkreta numeriska värdena och de mer abstrakta graferna. Det kanske till och med gör att eleverna lättare kommer ihåg de få gånger de faktiskt fått rita grafer för hand.
I det tredje inlägget i serien GeoGebra för lärare tittar vi lite på alla de (tämligen omfattande) hjälpresurser som finns att tillgå för att lära sig (mer om) GeoGebra. Låt gärna eleverna ta del av denna information också.
Resurser på svenska
Webbplatsen geogebra.se utgör ett naturligt nav för alla svenska hjälpresurser. Här kan du hitta i princip allt om GeoGebra som finns att hitta på svenska, och hittar du något bra som saknas så meddela mig så lägger jag upp en länk dit så fort jag hinner. Just nu kan du på webbplatsen hitta bland annat:
En länk till Resursmappen där du framför allt hittar skriftligt material, en del mer speciella GeoGebrafiler samt ännu flera länkar än vad som finns på webbplatsen. Om du är ute efter att lära dig GeoGebra kan jag rekommendera att du till att börja med läser igenom de fem första dokumenten i mappen som tar upp grafritning, sannolikhet, symbolisk algebra, användning på NP och användbara kortkommandon.
Och givetvis även en separat spellista för hur du använder GeoGebra på nationella prov.
Svensk support finns att tillgå primärt i Facebookgruppen GeoGebrasupport på svenska. Glöm inte att du kan söka efter gamla poster i FB-gruppen också. Det finns till exempel ganska många poster redan med frågor kring hur du löser differentialekvationer av olika slag.
Hitta material av olika slag genom att söka direkt på webbsidan.
Pointers till olika ingångar till hjälpresurserna, till exempel länkar till Facebook, Twitter, manualer och introduktionsguider finns här och här.
För de som vill skapa mer avancerade konstruktioner rekommenderas The GeoGebra Builders Handbook som är en samling med ”kluriga knep” för att göra effektiva konstruktioner.
Jag har nu äntligen kommit igång med att producera korta instruktionsvideos riktade kanske främst till elever som vill lära sig grunderna, men baserat på typiska problem som ska lösas. Filmerna kommer också eventuellt upp på Matteboken.se som Mattecentrum ligger bakom.
Filmerna är samlade i en spellista som heter GeoGebragrunder. Där finns just nu allt jag producerar men det finns också listor för hur du använder GeoGebra som räknare i fysiken eller hur du använder TI-räknare.
Givetvis kan du även hitta spellistorna i länklistan till vänster på den här sidan. Hör gärna av dig med konstruktiv kritik och förslag.
I det andra inlägget i serien GeoGebra för lärare ska vi titta lite närmare på egenskaper som de olika objekten i GeoGebra kan ha, och hur vi ändrar dem.
Vad är ett objekt? I GeoGebra kan det vara en punkt, en linje, ett tal, en lista, en funktion med mera. Genom att ändra på egenskaperna för ett objekt så ändrar vi hur det kommer att upplevas av eleverna, men också hur det kommer att uppträda när vi interagerar med det. Många inställningar är bra som de är ”out of the box”, andra tjänar på att justeras i vissa situationer och några är bra att ändra permanent.
För att ändra egenskaperna hos ett objekt högerklickar du på det och väljer Inställningar för att öppna egenskapsdialogen. Det kan se aningen olika ut beroende på vilken version du använder.
Här ser vi Calculator Suite i onlineversionen på geogebra.org men andra versioner är som sagt snarlika. Lägg märke till den vertikala raden av symboler längst till höger. De är direktlänkar till grupper av övergripande egenskaper.
Globala inställningar
En av de viktigaste globala inställningarna som eleverna bör lära sig så fort som möjligt är Antal decimaler. Som standard får du 2 decimaler i Classicversionerna men 13 decimaler i Calculator Suite. För vinklar tycker jag en decimal räcker och för räkning med rötter och logaritmer föredrar jag tre. I fysiken är det nästan omöjligt att arbeta utan att i stället först ange lämpligt antal gällande siffror.
Ställ in Namn på Objekt till Inga nya objekt om du ska generera många nya punkter, t.ex. från data i kalkylbladet. Då slipper du namnetiketter på varenda punkt.
Här hittar du även alternativen Spara inställningar och Återställ standardinställningar.
Som lärare behöver du se till att även eleverna längs bak i klassrummet ser tydligt. Jag använder teckenstorlekar från 24 och uppåt. Dessutom har jag ofta en ljusgul bakgrundsfärg så att bakgrunden blir mindre intensivt vit. I GeoGebra Classic 5 ser jag till att ha inmatningsfältet synligt och upptill, något du ställer in i layout-inställningarna.
Jag rekommenderar att du startar ett nytt fräscht fönster med GeoGebra, justerar nedanstående inställningar och väljer Spara inställningar. Observera att inställningarna sparas med filen så du kan skapa inställningsfiler som är tomma, med olika inställningar. Du kan hitta några i Resursmappen -> Inställningar. Det gör det också enklare att skapa enhetligt instruktionsmaterial.
Sätt teckenstorleken ≥ 24
Sätt antalet decimaler ≥ 3
Justera storleken och läget på fönstret och ritområdets omfång
Om du använder Classic 5 kan du även
Visa formateringsfälten i Ritområdet och Algebrafönstret
Placera Inmatningsfältet högst upp
Du kan också fundera på om du vill justera dessa inställningar:
Algebrafönstrets sorteringsordning
Ritområdets bakgrundsfärg
Skapa en uppsättning färger du använder konsekvent
Till sist: Om du använder någon av Classicversionerna så kan du flytta runt fönstren som du vill, läs mer här.
Ritområdets egenskaper
Fönsterområdet kan anges och varieras på flera olika sätt.
I egenskaperna för ritområdet kan du ange minimi– och maximivärden, precis som på en grafräknare. Men alla dessa värden kan dessutom styras av glidare och andra tal. Om du har en andragradsfunktion f(x) = a x² och visar x-värden mellan -10 och 10 så skulle du kunna låta y-värdena gå mellan -5 och 100 a för att skala fönstret automatiskt med parametern a.
Du zoomar fritt en axel i taget enklast genom att hålla nere Shift-tangenten och använda pil-tangenterna (eller dra i axlarna med musen).
Det finns också flera olika zoom-alternativ i högerklicksmenyn för ritområdet.
Några inställningar att uppmärksamma är till exempel:
”Funktionen” är ritad med pennverktyget
Bakgrundsfärg: Jag har ofta ljusgul bakgrund för att det ska slippa vara så intensivt vitt.
Axlarna: Dessa kan dockas till kanten, namnges, visas i enbart positiv riktning med mera.
Punktstyrning: Under fliken Rutnät så kan du välja att låta punkter låsas till rutnätet. Det är bra om du vill låta eleverna skapa räta linjer som garanterat går genom punkter med heltalskoordinater.
Avstånd mellan linjer i rutnäten kan sättas till bråkdelar av pi på x-axeln då ni arbetar med trigonometriska funktioner.
Algebrafönstrets egenskaper
I algebrafönstret kan du ställa in sorteringsordningen på objekten. Som standard så sorteras de i konstruktionsordning vilket oftast är bra, men du kan också välja att sortera dem efter objektstyp så att alla glidare (tal), funktioner, punkter etc uppträder i samlade grupper. Du kan också välja att visa hjälpobjekt. Hjälpobjekt är normalt alla objekt i kalkylbladet samt alla objekt som du väljer att klassa som hjälpobjekt genom att markera den rutan i objektets avancerade egenskaper. Att klassa ett objekt som ett hjälpobjekt är ett enkelt sätt att dölja objektet och ”rensa upp” algebrafönstret i en komplicerad konstruktion.
Det är också här som du kan välja mellan grader och radianer. Eller varför inte grader, minuter och sekunder.
Objektsegenskaper
Den lilla blå kvadraten med markerade hörnpunkter indikerar att du är inne och ändrar ett specifikt objekts egenskaper. Vi ska titta på några få av alla egenskaper som finns att välja på. Beroende på objekt så varierar också egenskaperna som är tillgängliga. Alla har färg, utseende, script (dvs möjligheter att programmera objektet), grundinställningar (visa objekt och etikett till exempel) samt avancerade egenskaper. Tal har även egenskaper för glidare, punkter har en steglängd (när punkten flyttas med pil-tangenterna) och så vidare.
Två av grundinställningarna är intressanta. Hjälpobjekt kan alltså dölja ett objekt från Algebrafönstret. Låsobjekt kan fixera det så att det inte går att flytta.
Under fliken Avancerat finns Urval möjligt som, om du avmarkerar det, gör att objektet inte längre kan väljas i Ritområdet. Det är bra om du ska göra ”elevsäkra” konstruktioner där bara vissa objekt, till exempel vissa glidare eller punkter, ska kunna manipuleras.
En text har egenskapen Absolut position i fönstret. Med den aktiverad kommer texten att ligga still i fönstret även om du zoomar eller panorerar.
Olikheter som bara involverar x har egenskapen Visa på x-axeln.
Formateringsfältet (endast Classic)
Formateringsfältet ser lite olika ut beroende på version. Här hittar du främst de visuella inställningarna för markerade objekt. I Classic 5 tycker jag om att alltid ha det framme. Det fälls då fram med den lilla pilen till vänster om ordet Ritområde.
I Classic 6 fälls det fram med hjälp av symbolen uppe till höger i ritområdet.
Om inget objekt är markerat visar formateringsfältet en del kontroller för att sätta på/av axlar, rutnät och zooma till standardvyn (och i Classic 6 så att alla objekt visas) samt inställningar för punktinfångning.
Egenskaperna, särskilt de visuella, ska inte underskattas när vi presenterar något för eleverna. Du kommer att få mer uppmärksamhet om du gör det visuellt tilltalande. Att ha ett hum om de viktigaste inställningsmöjligheterna och objektstyperna kommer också att göra mycket annat i GeoGebra enklare att hantera.
Tydliga färger, storlekar och linjetyper bidrar till det visuella intrycket. Bilden är en GIF exporterad från GeoGebra.
Under den här rubriken kommer jag att samla inlägg som är tänkta som instruktioner för lärare. Först ut är glidarna.
Glidare representerar nog själva sinnebilden av allt vad dynamisk geometri innebär. Att kunna ändra ett värde genom att dra i en punkt på en liten tallinje och därigenom se former och kurvor förändras och intuitivt få leka sig fram till kunskap.
En glidares egenskaper
En glidare är en grafisk representation av ett tal. Jag skriver tal för ibland representerar det en parameter men i andra sammanhang en variabel. Representationen sker oftast i form av en punkt som kan glida på en kort sträcka men i princip kan ju punkten glida på vilken kurva som helst. I glidarens egenskaper kan du ställa in framför allt minimi-, maximi- och steglängdsvärden. Du kan också direkt sätta ett värde genom att tilldela värdet till talet i inmatningsfältet.
En finess som få vet om är att du med Shift-, Ctrl– och Alt-tangenterna kan reglera hur stor steglängden är när du ändrar värden med piltangenterna. Shift-Pil gör att steglängden tillfälligt blir en tiondel av den angivna. Om steglängden från början är 0,5 så att värdena hoppar som 3 → 3,5 → 4 → 4,5… så kommer värdena i stället att hoppa 3 → 3, 05 → 3,1 → 3,15… med Shift nedtryckt.
Ctrl-tangenten gör steglängden tillfälligt 10 gånger större och med Alt-tangenten hoppar du hela 100 gånger längre steg än vanligt. Du kan givetvis ändra grundinställningen på steglängden direkt i inställningarna för talet/glidaren.
Glidare är både lättfattliga, intuitiva och flexibla. Du kan introducera grafen till den räta linjen genom att be eleverna skriva in y = k x + m, med mellanslag mellan k och x, och be dem undersöka kvalitativt vad som händer när de drar i glidarna. Nästa steg är att eleverna kvantitativt kopplar ihop värdet på glidaren med värdet på något de ser i grafen. Därefter kan du sammanfatta klassens upptäckter och formalisera resultaten.
Några andra begrepp som intimt hänger samman med glidare är animering, spår och dynamisk färg.
Animering innebär att talets värde ändras kontinuerligt. Animerar vi k-värdet på räta linjen så kommer linjen att svänga runt skärningspunkten med y-axeln som en liten film. Du animerar en glidare genom att trycka på ”play”-symbolen nere till höger i algebrafältet i version Classic 6 (= onlineversionen).
I Classic 5 högerklickar du och väljer Animering på. I Classic 5 kan du dessutom exportera animerade GIF-filer som den här. I GeoGebra 6 får du använda kommandot ExporteraBild().
Spår, eller att ”sätta på spåret” innebär att en punkt, kurva eller figur lämnar ett spår efter sig när det byter plats eller utseende så att vi får en slags samlad bild av utseendet för olika värden på talet.
Dynamiska färger innebär att vi kan styra färgen hos ett föremål med ett tal, till exempel en animerad glidare.
Låt oss ta ett exempel. Vi skriver in f(x) = a x2 + b x + c (”f(x) =” behöver inte skrivas in). Vi får automatiskt glidare för våra parametrar a, b, och c och funktionen ritas ut. Högerklicka på funktionen → Inställningar → fliken Avancerat. Under Dynamiska färger fyller du i Röd: b/5 Grön: 1 – b/5 Blå: 0. Sedan animerar du glidaren b. Grafen flyttar sig och växlar nu färg mellan grönt och rött beroende på värdet på b.
Färgvärdena räknas ”mellan 0 och1” dvs färgen går från ingen färg = 0 till maximal färg = 1 och värden utanför det här intervallet speglas in i det. Det här kan vara en metod för att förstärka ett begrepp du vill framhäva.
Om du nu dessutom kopplar på spåret på funktionen så får du en fascinerande bild som växer fram. Det gäller att påpeka vad det är du vill att eleverna ska lära sig så de inte glömmer bort det medan de låter sig hypnotiseras av skådespelet.
Om du tar fram vertexpunkten för f(x) med kommandot Extrempunkt(f) och därefter sätter på spåret på den kommer du att se hur den följer en annan andragradsfunktion i sin bana, nämligen g(x) = -a x2 + c. Att bevisa detta algebraiskt kan vara en intressant övning.
Du har aldrig sett en andragradsfunktion förrän du sett den så här.
Det är veckan efter de nationella proven och i Facebookgruppen Matematikundervisning är det fullt av inlägg om svårighetsgrad, innehåll och tolkningar.
En del inlägg handlar om vad som uppfattas vara ett ökat fokus på användandet av digitala verktyg och låt mig börja med att konstatera att det givetvis har skett en förändring av det centrala innehållet över tid. Olika ämnesområden har försvunnit och andra har lagts till. Under de sista 50 åren har verktyg kommit och gått. Vi använder (väl?) inte räknestickor längre och de första miniräknarna har utvecklats först till funktionsräknare, därefter till grafräknare. Verktygens medium har också förändrats, från analoga verktyg, till dedikerade elektroniska handhållna enheter till internetuppkopplade plattor och datorer med tillgång till kraftfulla matematikverktyg.
Samhället och tekniken förändras och undervisningen med dem. I språkundervisningen har fokus för länge sedan flyttats från korrekt grammatik till effektiv kommunikation, i de samhällsvetenskapliga ämnena ser vi en förskjutning från fakta till processer, perspektiv och källkritik och inom naturvetenskapen har teori och experiment kompletterats med simuleringar och videoanalyser.
Det har alltid funnits diskussioner kring nya verktygs vara eller icke vara, se till exempel debatten om miniräknarnas vara eller inte vara i slutet av förra seklet. Nu upplever vi bitar av samma diskussion men med siktet inställt på de kraftiga verktyg som gjorts tillgängliga de senaste 10-15 åren, framförallt GeoGebra, Desmos, Octave och Python (det är lite intressant att ingen verkar klaga på Excel som varit tillgängligt mycket längre).
Argumenten mot dessa verktyg verkar i huvudsak falla in under ett fåtal rubriker:
Det tar tid att lära ut dessa verktyg så eleverna (särskilt de svaga) får mindre tid att lära sig det de behöver kunna.
Att lära ut hur verktyg fungerar är inte matematik. Dessutom är det kontraproduktivt, för på högskolan får de inte använda verktyg.
Eleverna kan få godkända resultat på NP bara genom att klicka på knappar (och det är orättvist).
Alla dessa argument lider av ett synsätt som särskiljer kunskaper i matematik från kunskaper om hur man använder matematikverktyg. Jag vill på en gång påpeka att det är ett förståeligt synsätt för de som gått in i yrket med inställningen att de ska lära ut matematik och sedan sett fokuset på digitala verktyg gradvis öka, men – och det här är min huvudsakliga tes – det synsättet behöver upphöra.
Matematikkunskaper och kunskaper om hur du hanterar verktyg för att lösa problem i matematik går hand i hand och undervisningen måste också integrera dessa olika delar till en helhet. Här stöttar jag mig på det som kallas för TPACK-modellen från 2006: Technological, Pedagogical And Content Knowledge. I korthet går modellen ut på att alla dessa tre typer av kunskaper behöver integreras till en helhet för att få en effektiv undervisning.
Technological knowledge, alltså kunskaper om hur du hanterar de matematiska, verktygen behöver integreras både med den pedagogiska kunskapen och det centrala innehållet. Det innebär i praktiken att dels ska verktygen användas av eleverna för att göra det de kan göra: rita grafer, lösa ekvationer, beräkna sannolikheter etc. och dels ska de användas som en integrerad del av din undervisning för att visa på samband, visualisera begrepp och klargöra strukturer m.m.
Och här kommer till en viss kollegial kritik. För jag tror tyvärr att lärarkåren till stor del inte är van vid den här typen av integrering av tekniska kunskaper i undervisningen. Då miniräknarna gjorde sin entré i skolan, hur många var det då som aktivt utnyttjade det nya verktygets pedagogiska möjligheter till att visa decimalutvecklingar, talföljder, samband etc kontra att bara låta eleverna använda miniräknarna?
Och när de grafräknande räknarna dök upp, hur många lärare skaffade faktiskt OH-plattor eller simulatorer för att demonstrera deras olika funktioner? Hur många gick längre än att visa hur eleverna skulle rita grafer och hitta skärningspunkter? Jag har tyvärr träffat väldigt många elever som vittnar om att de inte fått någon undervisning alls i hur de skulle använda sina räknare effektivt. De tilläts använda dem, men det var allt. Här skulle lärarkåren kunnat göra betydligt mer.
Det ett faktum att Skolverket sedan många år tryckt på användning och undervisning om digitala verktyg. Tyvärr har de inte namngivit dessa och en del lärare har då lutat sig tillbaka och tänkt att ”räknare duger”. Nu, efter vårens nationella prov vecka börjar en del vakna upp men jag har redan hört kollegor som konstaterat att provet för Ma1 inte krävde detta och att de därför inte ser vitsen med att använda annat än räknare där.
Låt mig därför påminna om följande skrivelse från Skolverkets hemsida under matematikämnets syfte:
I undervisningen ska eleverna dessutom ges möjlighet att utveckla sin förmåga att använda digitala verktyg för att lösa problem samt fördjupa sitt matematikkunnande och utvidga de områden där matematikkunnandet kan användas.
Detta gäller alltså oavsett kurs. Om du inte ger dem denna möjlighet begår du alltså tekniskt sett tjänstefel. Anledningen till att det ser olika ut på olika årskurser på NP är att det är olika instanser som konstruerar dem. Umeå Universitet som konstruerar proven för de högre årskurserna har varit tydligare än Primgruppen som konstruerar proven för åk 1.
Nog med kritik. Hur åtgärdar vi problemet med att en del (många?) lärare inte undervisar med och om digitala verktyg? Den här stora gruppen behöver all stöttning den kan få. När det gäller GeoGebra finns en resursmapp med grundläggande instruktioner och länkar för vidare självstudier, en begynnande svensk videolista samt en FB-grupp för support. Du som känner att du är någorlunda bekväm med ett verktyg kan erbjuda support till dina kollegor. Om du läser detta kan du sprida informationen till dina kollegor som inte ser den.
Och till er som tycker det verkar vara övermäktigt: GeoGebra är tillsammans med Word och Excel vad jag kallar för ”bottenlösa” program. De går inte att lära sig till fullo på en vecka eller ens flera år. Du möts av en blank sida utan någon hjälp om hur du går vidare. Men det går att lära sig lite och komma igång. Du måste inte veta hur du radbryter text runt bilder eller gör massutskick för att kunna skriva en läslig text i Word och du behöver inte veta hur du gör Z-tester eller uttrycker kubiska grafer för att kunna lösa ett ekvationssystem i GeoGebra.
Det viktiga är att du börjar. Bara genom att förändras i takt med världen kan vi gå mot framtiden.
Svenska GeoGebrainstitutet 