Kategoriarkiv: Lärare och elever

GeoGebra för lärare (1), Jonas Hall, Lärare och elever

GeoGebra för lärare: Listor

2 kommentarer

En lista är i matematiken en ordnad följd av objekt. Det är ofta tal men kan precis lika gärna vara en följd av koncentriska cirklar, algebraiska termer eller punkter. I det här inlägget gör vi en djupdykning i vad du kan göra med listor i GeoGebra.

Skapa listor

Det finns flera sätt att skapa listor i GeoGebra.

Direkt inmatning med klamrar {…}

Du skapar en kort lista enklast genom att skriva in den direkt.
L = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} skapar listan L som innehåller de första 11 naturliga talen. Varje element i listan ska separeras med kommatecken och listan avgränsas med klamrar {…}. Just den här listan kan också skapas med skrivsättet L = {0..10} (2 eller fler punkter). Det fungerar bara för konsekutiva heltal.

Verktyget skapa lista

Klicka på verktyget Skapa Lista i verktygsmenyn (i Calculator Suite får du klicka på ”Flera…” längst ned) och dra upp en markeringsrektangel runt ett antal punkter, sträckor, cirklar och andra objekt så skapas en lista med dessa objekt. Det går också bra att markera objekten först och klicka på verktyget sen, men då drar du upp markeringstriangeln med höger musknapp.

I Classic ligger ”Skapa lista” i mätmenyn, i Calculator Suite bland punktverktygen

Skapa lista med punkter i kalkylbladet

Du kan mata in x- och y-koordinater i två kolumner i kalkylbladet (Classicversionerna), markera dessa värden, högerklicka och välja Skapa… Lista med punkter så skapas punkterna och en lista med punkterna. Det här är användbart om du sen ska göra någon regression på dessa data.

Hänvisa till kalkylbladet – regressioner

GeoGebra (classicversionerna) har ett kalkylblad som kan innehålla valfria objekt. I Excel kan varje cell innehålla text eller ett tal eller en formel som genererar en text eller ett tal. I GeoGebra kan varje cell innehålla även punkter, sträckor, cirklar etc. Du skapar t.ex. en punkt i kalkylbladet genom att skriva in (2, 3) i cellen.

Om du har x-värden i A-kolumnen och y-värden i B-kolumnen så kan du skapa punkter i C-kolumnen genom att i C2 skriva (A2, B2) (vi antar att rad 1 är reserverad för beskrivande rubriker). Därefter kopierar du ned formeln genom att dra i den lilla fyrkanten nere till höger i cellen. Ett område i kalkylbladet fungerar automatiskt som en lista. RegressionLin(C2:C6) kommer alltså att göra en linjär regression på de punkter som finns i cellerna C2 till C6.  

Talföljd(uttryck, variabel, start, stopp, (steg))

Ett av de kraftfullaste sätten att skapa listor är med kommandot talföljd. Låt inte lura dig av namnet på kommandot – det kan skapa listor av alla typer av objekt, inte bara tal. Du kan till exempel skapa en uppsättning koncentriska cirklar med kommandot
Talföljd(Cirkel( (0,0), sqrt(100 – r^2)), r, 1, 10).

Kommandot talföljd fungerar därmed som en slags FOR-loop om vi betraktar det ur ett algoritmiskt perspektiv. Det kan utläsas som ”Beräkna uttryck då variabel går från start till stopp (med hopp om steg)”

Koncentriska cirklar som visar en uppskivning av ett klot – kanske användbart då rotationsvolymer ska förklaras.

Men självklart är kommandot väldigt användbart för att visa på likheterna arbeta med aritmetiska och geometriska (och andra) talföljder. Låt eleverna experimentera fram talföljder vars tredje term är 8 och elfte term är 35 innan de får hitta rätt uttryck algebraiskt.

Använda enskilda värden i en lista

om L = {3, 6, 12, 24, 48, 96} så är L(1) = 3 och L(5) = 48. Du kan också ”räkna baklänges” så L(-1) = 96 och L(-5) = 6.

Listor i Calculator Suite

GeoGebra Calculator Suite har inget kalkylblad men listor som skapas på andra sätt fungerar precis som i GeoGebra Classic.

Det finns dessutom en tabell där du kan mata in värden. Värdena i kolumnerna går att arbeta med som om de vore vanliga listor men listan som ser ut att heta bara ”x” heter egentligen x1 (skrivs x_1).  Dessa listor kan du kan inte döpa om och de kan bara visas i tabellen om de först skapats där.

Calculator Suite visar punkter automatiskt

Fler saker du kan göra med listor

Tvåpotenser och kvadrater etc

Om X = {0..10} så kommer 2^X att skapa en lista med tvåpotenser och X^2 att skapa en lista med kvadrater.

Tabeller

Om V = Talföljd(a, a, 0, 360, 15) så kommer sin(V°) att ge tabellvärden för sin (0°), sin(15°), sin(30°)… sin(360°). Det är dock kanske mer meningsfullt att göra detta i kalkylbladet.

Tre decimaler kan vara lämpligt

Funktioner som punktmängder

Skapa X = {-8..8} och L = 0.5X – 2. (X, L) ger nu 17 punkter. Det ger en bild av funktionen y = 0.5x – 2 som är baserad bara på ett fåtal punkter vilket kan vara användbart för att befästa idén att en linje är en mängd av punkter.

Om du i stället skapar n = 0 och X = Talföljd(a, a, -8, 8, 10^(-n)) kan du variera antalet punkter genom att variera värdet på glidaren n mellan ca 0 och 2.

Räta linjer med olika k-värden

Om m är en glidare (skapa genom att skriva t.ex. m = 2) så kommer Talföljd(k x + m, k, -4, 4, 0.5) att generera räta linjer vars k-värden går från -4 till 4.

Simuleringar med slumptal

Du kan skapa 100 slumpvisa punkter med kommandot Talföljd((SlumpFördelning(-5, 5), SlumpFördelning(-5, 5)), j, 1, 50). Här är variabeln j en dummyvariabel som inte används i beräkningen. Tryck på F9-tangenten på tangentbordet för att uppdatera slumpberäkningarna och få 100 nya punkter. Det här är ett användbart sätt att börja bygga simuleringar. Det går givetvis lika bra att lägga slumpkommandot i 50 rader i kalkylbladet men ska du göra 1000 punkter är nog kalkylbladet inte längre lika smidigt. Här finns länkar till de olika slumpkommandon som finns i GeoGebra på engelska. Alla slumptaskommandon börjar på ”Slump…” så skriv det inne i GeoGebra så hittar du de olika kommandona.

Simulera tärningar

SlumpElement(L) levererar att slumpvis element ur listan L. Som alla slumpkommandon så kan det vara bra för simuleringar av olika sannolikhetssituationer. Här är en sån: Du har tre tärningar som är märkta 116688, 224499 och 335577. Vilken tärning är ”bäst”? Svaret är förvånande. Läs mer här och här.  

Vi kan simulera detta genom att först skapa listor som representerar tärningarna. T1 = {1, 1, 6, 6, 8, 8} etc.

100 kast med T1 kan simuleras med kommandot
T100 = Talföljd(SlumpElement(T1), j, 1, 100)
100 kast med T1 och T2 kan simuleras med kommandot T12=Talföljd(Om(SlumpElement(T1) > SlumpElement(T2), 1, 2), j, 1, 100). Den resulterande listan innehåller 1:or och 2:or beroende på vilken tärning som vann kastet. Beräknar vi medel(T12) kan vi se att T1 verkar vinna över T2. På samma sätt vinner T2 och T3 men T3 vinner över T1. Du kan alltså (i längden) vinna över andra genom att be dem välja tärning först.

Ännu fler saker du kan göra med listor

Fler kommandon

Element(L, n) är ett kommando som gör samma sak som L(n), alltså plockar ut det n:e elementet ur L.

I enstaka fall kan element bli odefinierade, t.ex. vid lösning av andragradsekvationer. Kommandot TaBortOdefinierat(L) rensar bort sådana värden så att medelvärden etc kan beräknas på de kvarvarande värdena.

UnikaElement(L) skapar en lista som bara innehåller en instans av varje element och kan alltså liknas vis att konvertera en lista till en mängd.

Egna axelmarkeringar (och axlar)

Om dx och dy är glidare så kommer listan
E = Talföljd(Text(”↓”, (j + dx, dy)), j, -10, 10, 1) att skapa egna axelmarkörer. Glidarna dx och dy justerar positionen på markörerna (men zoomar du behöver du justera om).

Skapa en glidare som tar värden från en lista

https://www.geogebra.org/m/t6v92Gdz#material/jJ8WhRDz

ÄNNU fler saker du kan göra med listor

https://www.geogebra.org/m/afbRGctJ

GeoGebra för lärare (1), Jonas Hall, Lärare och elever

GeoGebra för lärare: Klassindelat material

Lämna en kommentar
Majsormen Enya. Hennes syster Moya är just nu inte i bild.

Jag har två ofarliga majsormar i mitt terrarium som livnär sig på möss (professionellt uppfödda, dödade och frysta och sedan upptinade vid matningstillfället).

Ormarna är ca ett år gamla och växer fortfarande. Sist jag köpte möss köpte jag ett 100-pack i viktspannet 8-18 g. Eftersom jag vill ge ormarna de minsta först och sedan öka storleken allt eftersom de växer så vägde jag alla mössen individuellt och packade om dem i olika påsar. Så här många möss hamnade i varje påse:

Vikt (gram)Antal
8-1017
10-1227
12-1434
14-1619
16-183

Det här är ett exempel på klassindelat material. Det är å ena sidan ett destruktivt sätt att hantera mina data eftersom jag slänger bort information om vad varje individuell mus vägde, men å andra sidan så tjänar jag på att slippa dokumentera alla hundra mössens vikter.

Att göra statistik på klassindelat material är ett typexempel på saker som är bra att göra med dator. Det är omständigt, to say the least, att göra det för hand och kräver god organisation. Självklart ska man ha provat någon gång men framför allt behöver man kunna processen för hur man får datorn att göra jobbet åt en.

Det som nu följer baserar sig på GeoGebra Classic 6 men kunde lika gärna varit i Classic 5. Calculator Suite däremot har tabeller i stället för kalkylblad så där går det lite annorlunda till.

Vi låter alla värden representeras av klassmitten i respektive klass. Klassmitten i klassen 8-10 g är 9 g. Det här antagandet kan behöva göras tydligt för eleverna. Vi vet ju egentligen inte mössens individuella vikter, så det här är det bästa vi kan åstadkomma utan djupare analys. Till varje värde (klassmitt) hör antalet möss i den klassen = frekvensen. Alla dessa värden skriver vi in i kalkylbladet.

Vi markerar alla värden i båda kolumnerna och väljer verktyget Envariabelanalys. Klickar vi på summatecknet hittar vi all relevant statistik, som medelvärdet och standardavvikelsen. Det går också att använda kommandona medel(klassmitter, frekvenser) och stdev(klassmitter, frekvenser). Klassmitter och frekvenser skall antingen vara referenser till områden i kalkylbladet som A2:A6, eller GeoGebralistor med klamrar runt sig som {9,11, 13, 15, 17}.

För att rita ut motsvarande histogram krävs en lista med klassgränser. I det här fallet är klassgränserna 8, 10, 12, 14, 16 och 18. Lägg märke till att det finns en mer av gränserna än vad det finns av frekvenser, klasser och klassmitter.

Med gränserna på plats kan du använda kommandot Histogram(klassgränser, frekvenser) vilket ritar ut histogrammet i ritområdet. Det kan vara så att du behöver justera fönsterinställningarna om du har värden på klassgränserna som är högre än ca 10.

Du kan också välja att visa histogrammet direkt i verktyget Envariabelanalys, men då måste du göra manuella inställningar av klassgränserna där. Du hittar de inställningarna om du klickar på kugghjulet.

Allt detta är också visat i en film för Classic 6 och en annan film för Calculator Suite. Båda filmerna finns i spellistan ”GeoGebragrunder” på Youtube.

Alla event, GeoGebra för lärare (1), Jonas Hall, Lärare och elever

GeoGebra för lärare: Astronomins dag och natt (Sålt på en kafferast)

Lämna en kommentar

Lördag 24 september är det Astronomins dag och natt med astronomiaktiviteter över hela landet. Därför vill jag visa en modell av Jorden och Månens rörelse runt Solen, byggd i GeoGebra.

Klicka på animeringen för att gå till konstruktionen

På grund av förändringar i hur konstruktioner presenteras så behöver du själv högerklicka på variabeln/glidaren ”t” i algebrafönstret (området till vänster när du klickat dig fram till konstruktionen på geogebra.org) och välja Animation för att starta ”rörelsen”.

I verkligheten är avstånden sådana att formen på månens bana aldrig blir konkav, men i animeringen blir den mer ”blomlik”.

Konstruktionen (eller ”appleten”) är en del av flera konstruktioner samlade i en GeoGebrabok som heter Sålt på en kafferast som är byggd av Svetlana och Anders. Till varje konstruktion i boken finns också en screencast på hur du själv kan skapa konstruktionen. Det gör den till ett utmärkt verktyg att börja lära sig bygga egna konstruktioner.

Jonas Hall, Lärare och elever, Svenska GeoGebrainstitutet

GeoGebra i framtida digitala nationella prov

Lämna en kommentar

Skolverket har nu börjat konkretisera planerna för de framtida digitala nationella proven i matematik. Det är nu klart att det kommer att finnas GeoGebra, eller ett snarlikt verktyg, tillgängligt för eleverna. Efter samtal med en som faktiskt sett provverktyget tolkar jag det som att det rör sig om en integrerad version av GeoGebra som i allt väsentligt har hela GeoGebras funktionalitet, ungefär som den version som Exam.net använder sig av.

Skolverket har därför vänt sig till Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM, och givit dem i uppdrag att skapa en lärmodul (av samma slag som finns på lärportalen) för vardera högstadiet och gymnasiet med fokus på GeoGebra. Den modul som redan finns för digitala verktyg kommer att tas bort efter jul. NCM har i sin tur kontaktat Mats Brunström och Maria Fahlgren från Karlstads Universitet och Karlstads GeoGebrainstitut samt mig från Svenska GeoGebrainstitutet för att konstruera den här modulen. Tanken är att den skall vara klar för användning till vårterminen 2023.

Det är bra att Skolverket nu äntligen är tydliga med vad digitala hjälpmedel innebär och väljer det som blivit en internationell standard. GeoGebra används aktivt i så gott som alla världens länder och är översatt till över 50 språk. Möjligen kunde det förtydligandet kommit tidigare så läromedelsföretagen och lärarkåren kunde startat tidigare och därför kommit längre.

För det är ingen liten sak som ska sjösättas. Matematiklärare är den lärargrupp som använder digitala verktyg minst i sin undervisning (tabell 5.27 på sid 83 i Skolverkets rapport från 2015). Men för att Sveriges elever skall ha likvärdiga möjligheter så krävs det att ALLA lärare undervisar ALLA elever om (och med och i) GeoGebra i både högstadiet och gymnasiet inom något år.

Det finns flera aspekter kring detta att diskutera. De rent tekniska färdigheterna ska tränas in. Till detta finns det redan screencasts och dokument i mängder för den som bara tar sig tiden (vilket säkert kommer att resultera i en del facklig indignation och hårda prioriteringar). Sedan har vi den pedagogiska aspekten: Hur använder jag bäst GeoGebra i klassrummet för att lära eleverna matematiska begrepp och procedurer (genom att utnyttja de visuella, dynamiska och undersökande aspekterna av GeoGebra). Tidsaspekten: Hur hinner jag med detta (genom att låta det bli en så naturlig del av din undervisning att både du och dina elever växlar sömlöst mellan att jobba för hand och med verktyget).

GeoGebra är vad jag kallar för ett ”bottenlöst” program. Precis som Excel och Word så kan du använda det – på din egen nivå – i åratal och ändå inte ha lärt dig alla funktioner som finns. Men precis som Excel och Word så kan du ändå använda det ganska bra efter bara lite träning. Efter det kommer resten med tiden och vanan.

Tveka inte att berätta för mig vilken hjälp just du skulle vilja ha för att bättre komma igång med GeoGebra.

System av differentialekvationer i GeoGebra på en elevs dator
GeoGebra för lärare (1), Jonas Hall, Lärare och elever

GeoGebra för lärare: Dynamisk text

Lämna en kommentar

Ibland är en bild INTE värd 1000 ord. Här visar jag en del användbara kommandon och tekniker för att hantera dynamiska beskrivande texter i GeoGebra.

Konstruktion av Anders Björling

Etiketter

Vi börjar med ett enkelt exempel: Mata in följande, på var sin rad, följt av ENTER:

k = 2
m = 3
f(x) = k x + m (observera mellanslaget mellan k och x)

Högerklicka på linjen och välj Visa etikett. Ställ in vad etiketten ska visa genom att gå in i linjens inställningar. Välj att visa Namn och värde.

Den här etiketten har tydliga begränsningar. Du kan inte placera den var du vill eller formatera den hur du vill. För att kunna göra det skapar vi en mer flexibel etikett genom att dra linjens algebraiska representation i algebrafönstret ut till ritområdet och släppa den där. Då skapas en separat dynamisk text som har egna inställningsmöjligheter. Du kan placera den på en fast punkt i fönstret (oavsett hur du zoomar) eller låsa den vid en namngiven punkt eller valfri koordinat. Du kan ändra storlek, stil och färg och om du uppdaterar funktionen f så uppdateras texten.

Dynamisk text

För att skriva helt egna dynamiska texter klickar vi på verktyget Infoga text

Till vänster Calculator Suite, till höger Classic

och sedan i ritområdet där vi vill ha texten (du kan finjustera positionen senare). Då öppnas dialogrutan Infoga text.

Dialogrutan Infoga text med de avancerade kontrollerna nedfällda. Till vänster med förhandsvisningen (första fliken) aktiv. Till häger med objektsvalet (andra fliken) aktiv. Klickar du på ett objekt där så infogas objektets värde dynamiskt i texten. Tredje och fjärde flikarna låter dig välja symboler och mer komplicerade matematiska strukturer som rottecken, integraler och summatecken m.m.

Nu kan du skriva vilken text du vill. Alla objekt du skapat finns under den andra fliken i de avancerade kontrollerna. Infogar du ett sådant objekt ersätts det dynamiskt med sitt värde. Det går också att infoga tomma formelfält för att göra beräkningar direkt i dialogen. Symboler, rottecken etc finns att hämta under de andra flikarna.

Precis som förut kan du sedan bestämma storlek, stil, färg, position, antal visade decimaler etc i inställningarna för texten. Här har jag använt storleken ”mellan” och gul bakgrundsfärg samt blandat sans serif med serif.

För flera exempel på dynamisk text, se den här sidan i GeoGebra Builders Handbook.

Specialkommandon

  • FormelText(objekt, true, true) skapar en etikett precis som om du drar objektet från algebrafönstret ut till ritområdet.
  • Grundpotensform(tal) skapar en text som visar ett tal skrivet i grundpotensform. Tyvärr behövs det här kommandot då GeoGebra tenderar att visa mellanstora och mellansmå tal utan varken tiopotens eller tusentalsavgränsare.
Det är ibland svårt att avkoda tal utan att använda kommandot Grundpotensform()

RationellaTalText() och RotUtrycksText() är kommandon som försöker ge exakta representationer av tal i decimalform. Här används Rotuttryckstext() för att hitta ett exakt uttryck för förhållandet mellan en regelbunden femhörnings diagonal och dess sida.

Femhörningen skapades med hjälp av polygonverktyget och då skapades punkterna och sträckan s samtidigt. Sträckan döptes om till s i efterhand.

Avancerat

Tabeller

Tabeller är bra för att organisera information. GeoGebra har kommandot TabellText(listor) för att skapa tabeller. Syntaxen är lite knepig att minnas så det finns ett onlineverktyg för att formulera kommandot som du vill ha det.

LateX

Givetvis kan du även använda LaTeX i GeoGebra. Aktivera LaTeX-läget i Infoga text-dialogen och skriv vad du vill. Här är några exempel samlade i GeoGebra Builders Handbook.

\cfrac{2}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{2}{1}}}}

GeoGebra för lärare (1), Jonas Hall, Lärare och elever

GeoGebra för lärare: CAS

Lämna en kommentar

Computer Algebra System, CAS hanterar symbolisk algebra men vad kan det göra, egentligen? Och ska inte eleverna lära sig göra det här för hand?

I det här inlägget i serien GeoGebra för lärare så visar jag mina personliga favoriter i CAS. Öppna CAS-fönstret med Ctrl-Shift-K så sätter vi igång.

Fakultetsberäkningar

I CAS är alla beräkningar exakta (om du inte specifikt ber om numeriska svar) och alla siffror skrivs ut korrekt i heltal. Om du beräknar fakulteten för ett tal ≥ 22 så kommer ”vanliga” GeoGebra (algebrafönstret) att ge dig ett avrundat värde medan CAS visar alla siffror korrekt. Prova att slå in 100! i CAS får du se ett ännu tydligare exempel.

Till vänster algebrafönstret, till höger CAS-fönstret

Ekvationslösning

CAS är suveränt för att få exakta lösningar på ekvationer. Oavsett om det är linjära ekvationer vars lösningar lämpligen uttrycks i bråkform eller om det är andragradsekvationer eller rotekvationer så ger CAS de exakta värdena där det är möjligt.

Bara äkta rötter anges i rotekvationer

För att lösa en ekvation kan du antingen använda kommandot Lös(…) eller skriva in ekvationen direkt och trycka på x=-knappen. Vill du ha numeriska lösningar använder du NLös(…) eller x≈.

En av mina absoluta favoriter är att definiera en funktion f och sen skriva Lös(f’ = 0). Det kommandot spar väldigt mycket jobb då du ska hitta extrempunkter. Självklart ska eleverna kunna göra sådant för hand också, men ibland kanske det är hela problemlösningen som ska tränas snarare än algebran. Det gäller ju att göra eleverna bra främst på det som datorerna INTE klarar.

Substituera in värden i formler

I fysiken jobbar du ofta med formler. Substitutionskommandot och substitutionsknappen gör det enkelt att mata in värden på kända variabler och på så sätt få en väldigt enkel ekvation som går lätt att lösa.

Substitutionsdialogen

Här nedan ser vi dessutom exempel på hur vi refererar till tidigare rader med $1, $2 och så vidare. Det går att använda #1, #2… också men då blir referenserna inte dynamiska, det vill säga de uppdateras inte om du ändrar raden de refererar till så jag använder alltid $-tecknet.

Newtons gravitationslag används för att bestämma Jordens massa

Ändra form på uttryck

För polynom finns två huvudsakliga former: Expanderad form (normalform, summaform…) och faktorform. För andragradspolynom finns dessutom vertexform. GeoGebra har kommandon för alla dessa. Jag använder detta framför allt när jag vill visa formerna för eleverna innan de sätter sig att träna på att göra omvandlingar mellan formerna för hand. Här är en film som visar detta.

Vanlig förenkling sker till normalform = expanderad form.

Dynamisk algebra

Skapa en glidare, n, som du ställer in så att den bara antar heltalsvärden genom att sätta dess steglängd till 1 i inställningarna.

Algebraiska uttryck som beror av n ändras då dynamiskt då du ändrar värdet på n. Det här kan till exempel användas för att visa binomialregeln.

Här har vi placerat CAS-fönstret under algebrafönstret där glidaren n är definierad

Här är avslutningsvis lite filmer som visar andra aspekter av CAS:

GeoGebra för lärare (1), Jonas Hall, Lärare och elever

GeoGebra för lärare: Regressioner

2 kommentarer

I och med datorernas intåg har nu sedan några år tillbaka begreppet regression med alla dess tillhörande procedurer letat sig in i matematikkurserna. Jag brukar personligen ta upp det redan i Ma1c som ”problemlösningsknep” på uppgifter av typen ”Vilken funktion går genom dessa båda punkter…”. Mer formellt introduceras ”Begreppen regressionsanalys och korrelationskoefficient. Digitala metoder för regressionsanalys” sedan i Ma2, där vi anpassar koefficienterna i en målfunktion med hjälp av minsta kvadratmetoden. I Ma3 och Ma4 utgår författarna till de nationella proven från att eleverna kan anpassa en godtycklig standardfunktion till mätpunkter. På (långt) högre nivå finns det alternativ till minsta kvadratmetoden, men låt oss än så länge hålla oss på gymnasienivå och vad vi kan göra med GeoGebra.

(Minsta kvadratmetoden kan för övrigt visualiseras som om punkterna ”drar” i linjen med hjälp av fjädrar – se den här korta artikeln med sin suggestiva animering.)

Lite nostalgi och teori

Regressionsanalys är alltså en metod för att anpassa en funktion till en mängd datapunkter. Då jag började på universitetet 1982 gjorde vi detta genom att dra en rät linje med penna och linjal längs våra datapunkter som vi noggrant markerat på millimeterrutat papper (ibland med logaritmiska axlar).

Det fanns till och med speciella linjaler för detta ändamål

Jag minns också hur stolt jag var när jag en gång härledde de teoretiska uttrycken för att beräkna parametrarna i en anpassad kvadratisk funktion teoretiskt med hjälp av linjär algebra. Lite senare i kurserna dök det upp datorbaserade metoder i Minitab, ett kolumnbaserat program som skapades 1972 och fortfarande är vid god hälsa.

Från vår verklighet (de empiriska datapunkterna) så skapar vi alltså en matematisk modell (funktionen). Den modell vi får fram är i någon mening ”den bästa” modell vi kan använda av den givna typen.

Den sista anmärkningen om ”i någon mening” är viktig. Det är bättre att använda en funktionstyp som stämmer med den underliggande teorin än att ta en godtycklig funktion som ”stämmer bäst”. Om det finns teoretiska skäl att en linjär funktion borde vara en bra funktion till dina 10 datapunkter så försök inte anpassa ett polynom av 9:e graden. Visst, det går perfekt genom alla dina datapunkter, men har ungefär noll prediktionsvärde eftersom det tenderar att svänga kraftigt och oförutsägbart.

Polynom av hög grad är dåliga på att förutsäga vad som händer utanför dina data

Skapa en lista med punkter

I GeoGebra kan du skapa punkterna på i huvudsak två olika sätt.

Antingen matar du in punkterna en och en, i koordinatform, till exempel som (2.3, 19.2). Därefter använder du verktyget Skapa lista och klickar och drar upp en rektangel runt punkterna vilket skapar listan. Listan heter i de flesta fall l1 (ett gement L följt av en etta).

Eller så matar du in x– och y-koordinaterna i kalkylbladet. Du visar kalkylbladet antingen med kortkommandot Ctrl-Shift-S eller från Visa-menyn. Markera sedan alla numeriska värden (alltså inte eventuella rubriker), högerklicka och välj Skapa… -> Lista med punkter.

I onlineversionen av GeoGebra (= Calculator Suite) finns inget regelrätt kalkylblad, men där finns tabeller istället som fungerar på liknande sätt bortsett från att punkterna visas automatiskt. Du får dock använda Skapa lista för att få listan.

Observera dock att verktyget Skapa lista inte syns i Calculator Suite förrän du klickar på Mer verktyg i botten av verktygslistan. Då finns verktyget under Punktverktygen.

Standardregressioner

GeoGebra har ett stort antal standardregressioner att välja mellan. Linjära funktioner y = kx + m, exponentialfunktioner y = C ax eller y = C ekx, potensfunktioner y = C xa, polynom av olika grad, logistiska, trigonometriska och andra funktioner.

Du kommer åt alla dessa genom att skiva kommandon av typen RegressionLin(l1), RegressionExp(l1) eller RegressionPoly(l1, 3). I det sista exemplet skapas ett tredjegradspolynom. En lista på alla tillgängliga kommandon får du när du börjar skriva Regre….

I Classicversionerna kan du också använda verktyget Tvåvariabels regressionsanalys som ger dig ett eget fönster där du snabbt kan prova olika standardregressioner för att se vilken som passar bäst.

Generella regressioner

Det finns dock situationer där standardfunktionerna inte räcker till. Exempelvis finns det gott om fysiklaborationer där du vill anpassa en rät linje direkt genom origo, alltså en funktion av typen y = kx.

I GeoGebra kan du då göra en regression där du själv anger typen av funktion som ska användas. Du använder då kommandot Regression(…) på något av de två möjliga sätten som beskrivs nedan.

Om funktionen kan delas upp i separata termer där parametrarna som ska anpassas bara är multiplikativa konstanter kan du ange dessa funktioner i en lista:

  • Regression(l1, {x}) ger en funktion av typen y = kx (y = ax)
  • Regression(l1, {1, x2}) ger en funktion av typen y = a + bx2
  • Regression(l1, {2x, x2}) ger en funktion av typen y = a2x + bx2
Att tvinga en rät linje genom origo kan förändra k-värdet en hel del

Om funktionen inte kan delas upp på det sättet, eller om parametrarna inte bara är multiplikativa konstanter så behöver du först definiera din modellfunktion tydligt med hjälp av glidare:

Definiera till exempel funktionen m(x) = c ax + b där a, b och c är oanvända bokstäver. Dessa kommer då att tolkas som glidare. I Classic 5 får du bekräfta detta i en popup-fönster. Du måste inte använda namnet m på funktionen men jag brukar göra det för att påminna mig om att det är min modellfunktion. m(x) ser troligen inte alls ut som något som passar dina datapunkter. Det är för att parametrarnas startvärden är långt ifrån rätt inställda. Vi ignorerar detta för tillfället och om du vill går det bra att dölja m(x). Den är bara till för att GeoGebra ska veta vad vi vill ha i nästa steg. Den här funktionstypen är för övrigt användbar då du undersöker avsvalning mot en rumstemperatur som är skild från noll.

Skriv sedan kommandot Regression(l1, m). Om allt går väl har nu GeoGebra skapat en funktion till dina datapunkter i listan l1 av typen m.

Det kan inträffa (särskilt för mer komplicerade funktioner och trigonometriska funktioner) att algoritmen som jobbar i bakgrunden misslyckas med att hitta en bra funktion. Då får du visa funktionen m(x) igen och ändra glidarna så att modellfunktionen åtminstone påminner om det du är ute efter. Dessa glidarvärden är startvärdena för algoritmen och bra startvärden kan få den att producera ett bättre resultat. För trigonometriska funktioner är parametern som styr frekvensen särskilt känslig.

Koefficienterna

Om du ska räkna vidare med koefficienterna, som ofta är fallet i fysiklaborationer, så kan det vara bra att känna till kommandot Koefficienter(f). Det genererar en lista med de anpassade parametrarna till funktionen f som kan vara antingen en regressionsfunktion, ett polynom eller ett kägelsnitt. Observera att dessa inte är i bokstavsordning i listan. Vill du använda en särskild parameter kan du döpa den genom att skriva t.ex. T0 = l2(1) (det vill säga det första elementet i listan l2).

Felgränser då?

Det skull vara fint att kunna ange felgränser för de beräknade parametrarna. Tyvärr finns inte denna funktion i GeoGebra men jag kommer i ett framtida inlägg beskriva hur du kan göra med hjälp av så kallad jackknife resampling eller genom att använda Python.

Mer om modellering

Tycker du det är kul att lösa problem som handlar om matematiska modeller? Då kanske boken Handbok för matematisk modellering med GeoGebra är något för dig.

GeoGebra för lärare (1), Jonas Hall, Lärare och elever

GeoGebra för lärare: Grafritning med kontroll

Lämna en kommentar

I det här inlägget tittar vi på ett bortglömt kommando som låter dig rita en graf långsamt.

Att rita en graf ”för hand” (troligen använder du ju ändå en räknare, eller hur) låter eleven få se hur grafen växer fram. Det här momentet försvinner ju med moderna digitala hjälpmedel. Eller gör det det?

Åtminstone delar av detta går att simulera. Att skapa en värdetabell går lätt att göra i Classicversionernas kalkylblad eller i Calulator Suiteversionens funktionstabeller. Det går också att använda Classicversionernas funktionsinspektör (se sid 6-7 i det länkade dokumentet).

I funktionsinspektören (Classicversionerna) kan du göra värdetabeller

För själva ritandet finns det till stora delar bortglömda kommandot RitaLångsamt( <funktion> ). Vad kommandot gör är att det kopplar en animerad glidare till funktionen som då ritas ut bit för bit. Du kan styra hastigheten hos glidaren och pausa den när du vill.

I Calculator Suite kan du för funktionen välja Speciella punkter i menyn. Då ritas skärningspunkterna med axlarna samt extrempunkterna ut. I Classicversionerna får du själv skriva in kommandona Extrempunkt(f), Rot(f) eller Rötter(f) samt Skärning(f, yAxeln) för att få fram samma punkter.

Genom att på det här sättet dels visa eleverna hur funktionsdefinitionen leder till värden i tabellen som blir till punkter i grafen som sammanbinds till en funktion behöver ofta upprepas för varje ny funktionstyp som eleverna stöter på. En första introduktion vid räta linjens ekvation följs sen upp med en liknande demonstration då exponentialfunktioner introduceras och sedan i Ma2 för kvadratiska funktioner och i Ma3 polynom av högre grad. Det gör att eleverna bibehåller kopplingen mellan de konkreta numeriska värdena och de mer abstrakta graferna. Det kanske till och med gör att eleverna lättare kommer ihåg de få gånger de faktiskt fått rita grafer för hand.

GeoGebra för lärare (1), Jonas Hall, Lärare och elever, Svenska GeoGebrainstitutet

GeoGebra för lärare: Hjälpresurser

Lämna en kommentar

I det tredje inlägget i serien GeoGebra för lärare tittar vi lite på alla de (tämligen omfattande) hjälpresurser som finns att tillgå för att lära sig (mer om) GeoGebra. Låt gärna eleverna ta del av denna information också.

Resurser på svenska

Webbplatsen geogebra.se utgör ett naturligt nav för alla svenska hjälpresurser. Här kan du hitta i princip allt om GeoGebra som finns att hitta på svenska, och hittar du något bra som saknas så meddela mig så lägger jag upp en länk dit så fort jag hinner. Just nu kan du på webbplatsen hitta bland annat:

  • Svensk support finns att tillgå primärt i Facebookgruppen GeoGebrasupport på svenska. Glöm inte att du kan söka efter gamla poster i FB-gruppen också. Det finns till exempel ganska många poster redan med frågor kring hur du löser differentialekvationer av olika slag.

Resurser på Engelska

Det internationella navet för all GeoGebraverksamhet är webbplatsen geogebra.org. Där kan du bland annat

  • Ladda ned de olika apparna
  • Hitta material av olika slag genom att söka direkt på webbsidan.
  • Pointers till olika ingångar till hjälpresurserna, till exempel länkar till Facebook, Twitter, manualer och introduktionsguider finns här och här.
  • För de som vill skapa mer avancerade konstruktioner rekommenderas The GeoGebra Builders Handbook som är en samling med ”kluriga knep” för att göra effektiva konstruktioner.

Och förstås, hittar du inte hjälp någon annanstans kan du alltid höra av dig till mig, Jonas Hall.

Elever, Jonas Hall, Lärare och elever, Mattecentrum, Svenska GeoGebrainstitutet

Instruktionsvideos

Lämna en kommentar

Jag har nu äntligen kommit igång med att producera korta instruktionsvideos riktade kanske främst till elever som vill lära sig grunderna, men baserat på typiska problem som ska lösas. Filmerna kommer också eventuellt upp på Matteboken.se som Mattecentrum ligger bakom.

Filmerna är samlade i en spellista som heter GeoGebragrunder. Där finns just nu allt jag producerar men det finns också listor för hur du använder GeoGebra som räknare i fysiken eller hur du använder TI-räknare.

Givetvis kan du även hitta spellistorna i länklistan till vänster på den här sidan. Hör gärna av dig med konstruktiv kritik och förslag.